微积分作业代写calclulus代考| Change of variables in R2

微积分作业代写calclulus代考|  Change of variables in R2

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Change of variables in single integrals

Aim: We want to evaluate $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ by invoking a transform $x=x(t)$.
Suppoosè $x(t)$ is strictly incréasing âs in Figuré $4.17(\mathrm{a})$, thèn $x^{\prime}(t)>0$, and $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x}=f .$ Then
$$
\begin{aligned}
\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t)) x^{\prime}(t) \mathrm{d} t &=\int_{\alpha}^{\beta} F^{\prime}(x(t)) x^{\prime}(t) \mathrm{d} t \
&=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} F(x(t)) \mathrm{d} t=F(x(\beta))-F(x(\alpha)) \
&=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
On the other hand suppose $x(t)$ is strictly decreasing as in the case shown in

Figure $4.17(\mathrm{~b})$, then $x^{\prime}(t)<0$, and $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x}=f$. Then
$$
\begin{aligned}
\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t))\left(-x^{\prime}(t)\right) \mathrm{d} t &=-\int_{\alpha}^{\beta} F^{\prime}(x(t)) x^{\prime}(t) \mathrm{d} t \
&=\int_{\beta}^{\alpha} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} F(x(t)) \mathrm{d} t=F(x(\alpha))-F(x(\beta)) \
&=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
Consequently,
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t))\left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right| \mathrm{d} t
$$
So, in this case we see the integration interval has changed, but more significantly the change of variable $x \longrightarrow t$ has introduced a positive factor $\left|x^{\prime}\right|$ in the integral. This is called the scale factor since it scales up or down the interval size. We should expect a similar factor to appear in multiple integrals.

微积分作业代写calclulus代考|Change of variables in double integrals

For convenience we shall consider only bijective transformations:
$$
\tau: \boldsymbol{u} \mapsto \boldsymbol{x}(\boldsymbol{u})=\left{\begin{array}{l}
x=x(u, v) \
y=y(u, v)
\end{array}\right.
$$
such that $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0$. The Jacobian determinant (Definition $2.9$ ) is involved in the transformation of double integrals:
$\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} A \quad$ becomes expressed as $\iint_{E} g(u, v) \mathrm{d} A^{\prime}$
Geometrically the transformation affects areas both globally and locally.
To see how the transformation does this consider in Figure $4.18$ the “parallelogram” in the $x y$-plane created by constant $u$ and $v$ contours. Suppose opposite sides of the parallelogram are separated by differences $\mathrm{d} u$ and $\mathrm{d} v$.

For small $\mathrm{d} u$ and $\mathrm{d} v$, the area of the element in $D$ is given by the vector product
$\mathrm{d} A=|\overrightarrow{R P} \times \overrightarrow{R S}| \quad$ – geometric interpretation (see Page 3)
$=\left|\left(\mathrm{d} x_{u} e_{1}+\mathrm{d} y_{u} e_{2}\right) \times\left(\mathrm{d} x_{v} e_{1}+\mathrm{d} y_{v} e_{2}\right)\right| .$
$\underbrace{\text { along a line of }}{\text {along a line of }}$ constant $v \quad$ constant $u$ Thus, $$ \begin{aligned} \mathrm{d} A &=\left|\left(\frac{\partial x}{\partial u} \mathrm{~d} u e{1}+\frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u e_{2}\right) \times\left(\frac{\partial x}{\partial v} \mathrm{~d} v e_{1}+\frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v e_{2}\right)\right| \
&=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \quad \text { – by the chain rule (Section 2.G) product gives the Jacobian determinant }
\end{aligned}
$$
The reader should make particular note that it is the absolute value of the Jacobian determinant that appears here. This is reasonable since what we have done is transformed one area element to another, preserving the sign.

微积分作业代写calclulus代考| Change of variables in R2

微积分作业代写calclulus代考|Change of variables in single integrals

目的:我们要评估∫一种bF(X)dX通过调用转换X=X(吨).
假设X(吨)在 Figuré 中严格增加 âs4.17(一种), 然后X′(吨)>0, 和dF dX=F.然后
∫一种bF(X(吨))X′(吨)d吨=∫一种bF′(X(吨))X′(吨)d吨 =∫一种bdd吨F(X(吨))d吨=F(X(b))−F(X(一种)) =F(b)−F(一种)=∫一种bF(X)dX
另一方面假设X(吨)严格递减,如图所示

数字4.17( b), 然后X′(吨)<0, 和dF dX=F. 然后
∫一种bF(X(吨))(−X′(吨))d吨=−∫一种bF′(X(吨))X′(吨)d吨 =∫b一种dd吨F(X(吨))d吨=F(X(一种))−F(X(b)) =F(b)−F(一种)=∫一种bF(X)dX
所以,
∫一种bF(X)dX=∫一种bF(X(吨))|dX d吨|d吨
因此,在这种情况下,我们看到积分区间发生了变化,但更显着的是变量的变化X⟶吨引入了积极因素|X′|在积分。这称为比例因子,因为它按比例放大或缩小间隔大小。我们应该期望类似的因子出现在多重积分中。

微积分作业代写calclulus代考|Change of variables in double integrals

为方便起见,我们只考虑双射变换:
$$
\tau: \boldsymbol{u} \mapsto \boldsymbol{x}(\boldsymbol{u})=\left{X=X(你,v) 和=和(你,v)\正确的。
$$
这样∂(X,和)∂(你,v)≠0. 雅可比行列式(定义2.9) 涉及双积分的变换:
∬DF(X,和)d一种变为表示为∬和G(你,v)d一种′
从几何上看,这种转变会影响全局和局部区域。
看看转换是如何考虑的,如图4.18中的“平行四边形”X和-由常数创建的平面你和v轮廓。假设平行四边形的对边被差异分开d你和dv.

对于小d你和dv, 元素的面积D由向量积给出
d一种=|R磷→×R小号→|– 几何解释(见第 3 页)
=|(dX你和1+d和你和2)×(dXv和1+d和v和2)|.
 沿着一条线 ⏟沿着一条线 持续的v持续的你因此,d一种=|(∂X∂你 d你和1+∂和∂你 d你和2)×(∂X∂v dv和1+∂和∂v dv和2)| =|∂(X,和)∂(你,v)|d你 dv – 通过链式法则(第 2.G 节)乘积给出雅可比行列式 
读者应该特别注意,这里出现的是雅可比行列式的绝对值。这是合理的,因为我们所做的是将一个区域元素转换为另一个区域元素,同时保留符号。

微积分作业代写calclulus代考| Change of variables in R2
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