微积分作业代写calclulus代考| Change of variables in R3

微积分作业代写calclulus代考|  Change of variables in R3

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Mastery Check 4.15

Transform the iterated integral below into iterated integrals w.r.t. cylindrical coordinates, and w.r.t. spherical coordinates:
$$
I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1+x+y}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
(Do not proceed to evaluate the integrals. If you skip to the very last note in this chapter, you will see why!)

微积分作业代写calclulus代考|A geometrical view of a change of variables in a 3D domain

Consider the triple integral of a continuous function over a closed and bounded domain,
$$
I=\iiint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} V
$$
and the bijective $C^{1}$-transformation:
$$
\tau: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} ; \quad \boldsymbol{u} \mapsto \boldsymbol{x}(\boldsymbol{u})
$$
This mapping transforms an element of volume in the $x y z$-domain to a volume element in the uvw-domain, as suggested graphically in Figure 4.25.

If $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v, \mathrm{~d} w \ll 1$ then (according to Section 1.A) the volume element in $S$ would be given by the absolute value of the scalar triple product
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} V=&|(\overrightarrow{B A} \times \overrightarrow{B C}) \cdot \overrightarrow{B G}| \
=\mid\left(\left(\mathrm{d} x_{u} \mathbf{e}{1}+\mathrm{d} y{u} \mathbf{e}{2}+\mathrm{d} z{u} \mathbf{e}{3}\right) \times\left(\mathrm{d} x{v} \mathbf{e}{1}+\mathrm{d} y{v} \mathbf{e}{2}+\mathrm{d} z{v} \mathbf{e}{3}\right)\right) \ & \cdot\left(\mathrm{d} x{w} \mathbf{e}{1}+\mathrm{d} y{u} \mathbf{e}{2}+\mathrm{d} z{w} \mathbf{e}_{3}\right) \mid
\end{aligned}
$$
Invoking the chain rule, the scalar triple product can be written in determinant form (Section 1.A, Page 8).
$$
\mathrm{d} V=\left|\begin{array}{lll}
\frac{\partial x}{\partial u} \mathrm{~d} u & \frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u & \frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{~d} u \
\frac{\partial x}{\partial v} \mathrm{~d} v & \frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v & \frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{~d} v \
\frac{\partial x}{\partial w} \mathrm{~d} w & \frac{\partial y}{\partial w} \mathrm{~d} w & \frac{\partial z}{\partial w} \mathrm{~d} w
\end{array}\right||=| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \mid \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w
$$
As we found in the case of a change of variahles in a double integral, a change of variables in a triple integral involves the Jacobian determinant for that transformation. The absolute value of the Jacobian is the scaling factor between the volume elements $\mathrm{d} V=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ in $x y z$-space and $\mathrm{d} V^{\prime}=$ $\mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w$ in $u v w$-space.

Consequently, we have the end result that
$$
\iiint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{K} F(u, v, w)\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right| \mathrm{d} V^{\prime}
$$
where $F(u, v, w)=f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))$ and $S$ is the image of $K$ under $\tau$.

微积分作业代写calclulus代考| Change of variables in R3

微积分作业代写calclulus代考|Mastery Check 4.15

将下面的迭代积分转换为柱坐标和球坐标的迭代积分:
一世=∫01 dX∫01−X2 d和∫01+X+和(X2−和2)d和
(不要继续计算积分。如果你跳到本章的最后一个注释,你会明白为什么!)

微积分作业代写calclulus代考|A geometrical view of a change of variables in a 3D domain

考虑封闭和有界域上的连续函数的三重积分,
一世=∭小号F(X,和,和)d五
和双射C1-转型:
τ:R3⟶R3;你↦X(你)
此映射将体积元素转换为X和和域到 uvw 域中的体积元素,如图 4.25 所示。

如果d你, dv, d在≪1然后(根据第 1.A 节)中的体积元素小号将由标量三重积的绝对值给出
d五=|(乙一种→×乙C→)⋅乙G→| =∣((dX你和1+d和你和2+d和你和3)×(dXv和1+d和v和2+d和v和3)) ⋅(dX在和1+d和你和2+d和在和3)∣
调用链式法则,标量三元积可以写成行列式形式(第 1.A 节,第 8 页)。
d五=|∂X∂你 d你∂和∂你 d你∂和∂你 d你 ∂X∂v dv∂和∂v dv∂和∂v dv ∂X∂在 d在∂和∂在 d在∂和∂在 d在||=|∂(X,和,和)∂(你,v,在)∣d你 dv d在
正如我们在双积分中变量变化的情况下发现的那样,三重积分中变量的变化涉及该变换的雅可比行列式。雅可比的绝对值是体积元素之间的比例因子d五=dX d和 d和在X和和-空间和d五′= d你 dv d在在你v在-空间。

因此,我们得到的最终结果是
∭小号F(X,和,和)d五=∭到F(你,v,在)|∂(X,和,和)∂(你,v,在)|d五′
在哪里F(你,v,在)=F(X(你,v,在),和(你,v,在),和(你,v,在))和小号是图像到在下面τ.

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