微积分作业代写calclulus代考| Composite functions and the chain rule

微积分作业代写calclulus代考|    Composite functions and the chain rule

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Example 2.11:

Consider the functions $f: x \longrightarrow y=f(x)$, and $g:(s, t) \longrightarrow x=g(s, t)$. We wish to find the domain $D_{F}$ of the composite function
$F:(s, t) \longrightarrow y=(f \circ g)(s, t)$, and the derivatives $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right){t},\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right){s}$, when $f(x)=\ln x, g(s, t)=s\left(1-t^{2}\right)$.
The domain of $f$ is $D_{f}={x: x>0}$, and the range of $g$ is $R_{g}={x: x \in \mathbb{R}}$. The intersection is $\left{x: x=s\left(1-t^{2}\right)>0\right}$, that is, $D_{F}={(s, t):(s>0$ and $|t|<1) \cup(s<0$ and $|t|>1)}$.
$$
\begin{aligned}
&\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right){t}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} \frac{\partial g}{\partial s}=\left.\frac{1}{x}\right|{x=s\left(1-t^{2}\right)}\left(1-t^{2}\right)=\frac{1}{s} \
&\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right){s}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} \frac{\partial g}{\partial t}=\left.\frac{1}{x}\right|{x=s\left(1-t^{2}\right)}(-2 s t)=-\frac{2 t}{1-t^{2}}
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考|Mastery Check 2.17:

Consider the function: $y=f(x)=\arcsin x$, where $x=g(s, t)=s^{2}+\frac{1}{t}$. What are $D_{f}, R_{f}, D_{g}$, and $R_{g}$ ?
Determine where $y=F(s, t)$ makes sense, and then find (if possible) the partial derivatives $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right){t}$ and $\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right){s}$.
Note: the final result should be expressed in terms of $s$ and $t$ !
$c$
Case 3
Consider two functions $f, g \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ of two variables.
$$
\begin{array}{rlrl}
f: \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow \mathbb{R} & g: \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \
(x, y) & \longmapsto z=f(x, y) & (s, t) & \longmapsto\left(x=g_{1}(s, t), y=g_{2}(s, t)\right)
\end{array}
$$
The composite function $F$ of two variables $s$ and $t$ derived from $f$ and $g$ is
$$
z=F(s, t)=(f \circ g)(s, t)=f\left(g_{1}(s, t), g_{2}(s, t)\right) .
$$

2.G The chain rule
91
This composite function is represented by the more elaborate branch model of dependent and independent variables shown in Figure 2.29.
This time $z$ depends on $x$ and $y$, and both $x$ and $y$ depend on $s$ and $t$.

微积分作业代写calclulus代考| Composite functions and the chain rule

微积分作业代写calclulus代考|Example 2.11:

考虑函数F:X⟶和=F(X), 和G:(s,吨)⟶X=G(s,吨). 我们希望找到域DF复合函数的
F:(s,吨)⟶和=(F∘G)(s,吨),以及导数 $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right) {t},\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right) {s},在H和nf(x)=\ln x, g(s, t)=s\left(1-t^{2}\right).吨H和d○米一种一世n○FF一世sD_{f}={x: x>0},一种nd吨H和r一种nG和○FG一世sR_{g}={x: x \in \mathbb{R}}.吨H和一世n吨和rs和C吨一世○n一世s\left{x: x=s\left(1-t^{2}\right)>0\right},吨H一种吨一世s,D_{F}={(s, t):(s>0一种nd|t|<1) \cup(s<0一种nd|t|>1)}.$
\begin{aligned}
&\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right) {t}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} \frac {\partial g}{\partial s}=\left.\frac{1}{x}\right| {x=s\left(1-t^{2}\right)}\left(1-t^{2}\right)=\frac{1}{s} \
&\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right) {s}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} \frac{\partial g}{\partial t}=\left.\压裂{1}{x}\对| {x=s\left(1-t^{2}\right)}(-2 st)=-\frac{2 t}{1-t^{2}}
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考|Mastery Check 2.17:

考虑函数:和=F(X)=反正弦⁡X, 在哪里X=G(s,吨)=s2+1吨. 什么是DF,RF,DG, 和RG?
确定在哪里和=F(s,吨)有意义,然后找到(如果可能的话)偏导数 $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right) {t}一种nd\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right) {s}.ñ○吨和:吨H和F一世n一种一世r和s你一世吨sH○你一世db和和Xpr和ss和d一世n吨和r米s○Fs一种nd吨!CC一种s和3C○ns一世d和r吨在○F你nC吨一世○nsf, g \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)○F吨在○v一种r一世一种b一世和s.F:R2⟶RG:R2⟶R2 (X,和)⟼和=F(X,和)(s,吨)⟼(X=G1(s,吨),和=G2(s,吨))吨H和C○米p○s一世吨和F你nC吨一世○nF○F吨在○v一种r一世一种b一世和ss一种nd吨d和r一世v和dFr○米F一种ndG一世s和=F(s,吨)=(F∘G)(s,吨)=F(G1(s,吨),G2(s,吨)).$

2.G 链式法则
91
这个复合函数由图 2.29 所示的因变量和自变量的更精细的分支模型表示。
这次和取决于X和和, 并且两者X和和取决于s和吨.

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