微积分作业代写calclulus代考| Coordinate systems

微积分作业代写calclulus代考| Coordinate systems

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Cylindrical polar coordinates

An arbitrary point $P$ in $3 \mathrm{D}$ is defined by Cartesian coordinates $(x, y, z)$. The preceding case of plane polar coordinates is thus easily generalized to cylindrical polar coordinates in 3D by the inclusion of the Cartesian coordinate $z$ to account for the third dimension.
We therefore have the relations
$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z .
$$
Figure $1.18(\mathrm{~b})$ shows the point $P$ represented by the two alternative coordinate systems $(x, y, z)$ and $(r, \theta, z)$. The distance between any two points $P$ and $Q$ generalizes to
$$
\begin{aligned}
D &=\left[\left(x_{x}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \
&-\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(\emptyset_{1}-0_{2}\right)+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2}
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考|Spherical polar coordinates

The second generalization to 3D of polar coordinates is the spherical polar coordinate system. This is based on the notion of defining a point on a sphere in terms of latitude and longitude angles. To be precise, an arbitrary point $P$ in 3 D with Cartesian coordinates $(x, y, z)$ is identified by the triplet of
1.D Coordinate systems
27
independent variables $(\rho, \phi, \theta)$ defined by
$$
\left.\begin{array}{l}
x=\rho \sin \phi \cos \theta, \
y=\rho \sin \phi \sin \theta, \
z=\rho \cos \phi,
\end{array}\right} \quad \begin{aligned}
&0 \leq \rho<\infty, \
&0 \leq \phi \leq \pi, \
&0 \leq \theta \leq 2 \pi,
\end{aligned}
$$
with the inverse relations
$$
\begin{array}{r}
\rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+z^{2}, \quad \tan \theta=\frac{y}{x} \
\cos \phi=\frac{z}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}} \quad \text { or } \quad \sin \phi=\frac{r}{\rho}
\end{array}
$$
Figure $1.19$ illustrates how the variables are related geometrically. The origins of the angles $\phi$ and $\theta$ as $z$-axis and $x$-axis, respectively, are also indicated. The distance between two arbitrary points $P$ and $Q$ in $3 \mathrm{D}$ is now expressed $D^{2}=\rho_{1}^{2}+\rho_{2}^{2}-2 \rho_{1} \rho_{2} \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)-2 \rho_{1} \rho_{2} \sin \phi_{1} \sin \phi_{2}\left(\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)-1\right) .$

微积分作业代写calclulus代考| Coordinate systems

微积分作业代写calclulus代考|Cylindrical polar coordinates

3D 中的任意点 P 由笛卡尔坐标 (x,y,z) 定义。因此,通过包含笛卡尔坐标 z 以解释第三维,上述平面极坐标的情况很容易推广到 3D 中的圆柱极坐标。
因此我们有关系
$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z 。
$$
图 1.18( b) 显示了由两个可选坐标系 (x,y,z) 和 (r,θ,z) 表示的点 P。任意两点 P 和 Q 之间的距离推广到
$$
\begin{aligned}
D &=\left[\left(x_{x}-x_{2}\right)^{2}+\left (y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \
&=\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right )+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2}
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考|Spherical polar coordinates

极坐标 3D 的第二个推广是球极坐标系。这是基于根据纬度和经度角定义球体上的点的概念。准确地说,3D 中任意点 P 的笛卡尔坐标 (x,y,z) 由
1.D 坐标系
27个
自变量 (ρ, phi,θ) 定义为
$$
\left.\begin{array}{l}
x=\rho \sin \phi \cos \theta, \
y=\rho \sin \phi \sin \theta, \
z =\rho \cos \phi,
\end{数组}\right} \quad \begin{对齐}
&0 \leq \rho<\infty \
&0 \leq \phi \leq \pi \
&0 \leq \theta \leq 2 \pi
\end{对齐}
$$
与逆关系
$$
\begin{array}{r}
\rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+z^{2} , \quad \tan \theta=\frac{y}{x}, \
\cos \phi=\frac{z}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}} \quad \text { 或 } \quad \sin \phi=\frac{r}{\rho}
\end{array}
$$
图 1.19 说明了变量如何在几何上相关。角ϕ 和θ 的原点分别为z-axis 和x-axis,也被指出。
3D 中任意两个点 P 和 Q 之间的距离现在表示为
$$
D^{2}=\rho_{1}^{2}+\rho_{2}^{2 }-2 \rho_{1} \rho_{2} \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)-2 \rho_{1} \rho_{2} \sin \phi_{1 } \sin \phi_{2}\left(\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)-1\right)
$$

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微积分作业代写calclulus代考| Coordinate systems
微积分作业代写calclulus代考

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