微积分作业代写calclulus代考| Differentials and error analysis

微积分作业代写calclulus代考|     Differentials and error analysis

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Differentials and error analysis

Definition $2.4$ of a differentiable function allows the following interpretation:
$$
f(\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x})=\operatorname{grad} f(\boldsymbol{x}) \cdot \Delta \boldsymbol{x}+|\Delta \boldsymbol{x}| \rho(\Delta \boldsymbol{x}),
$$
or, more simply, that $\Delta f(\boldsymbol{x} ; \Delta \boldsymbol{x}) \approx \operatorname{grad} f(\boldsymbol{x}) \cdot \Delta \boldsymbol{x}$ for $|\Delta \boldsymbol{x}| \ll 1$.
This leads to the idea of constructing a new function of both
$$
\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \text { and } \mathbf{d} \boldsymbol{x}=\left(\mathrm{d} x_{1}, \mathrm{~d} x_{2}, \ldots, \mathrm{d} x_{n}\right) .
$$
That is, it is a function of $2 n$ variables.

微积分作业代写calclulus代考|Definition 3.5

The function $\mathrm{d} f$ has the following three features:
(1) It is an approximation to the change in $f, \Delta f$, coming from a change $\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}+\mathrm{d} \boldsymbol{x}$
(2) it is linear in $\mathrm{d} \boldsymbol{x}$; and
(3) it is a natural tool to use if considering overall error estimates when individual errors $(\mathrm{d} \boldsymbol{x})$ are known.
The last feature identifies the differential’s mnst useful application.
Suppose we have a quantity $f$ whose value depends on many parameters, say $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Any errors incurred in measuring the $x_{i}$ result in an error in the quantity $f$.
An estimate of the maximum error in $f$ is thus given by
$$
|\mathrm{d} f(\Delta \boldsymbol{x})| \leq\left.\left.\left|\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right|{x}|| \Delta x{1}|+| \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right|{x}|| \Delta x{2}|+\cdots+| \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right|{x}|| \Delta x{n} \mid
$$
by the triangle inequality (Section 1.B).
The right-hand side of Equation (3.2) gives the maximum possible error only if one knows the maximum uncertainty of the individual $x_{i}$. If one knows the exact values of the $\mathrm{d} x_{i}$ (or $\Delta x_{i}$ ) including their signs then we use the differential $\mathrm{d} f(\boldsymbol{x}, \mathrm{d} \boldsymbol{x})$ directly to give an approximate value to the change $\Delta f=f(\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}) .$

微积分作业代写calclulus代考| Differentials and error analysis

微积分作业代写calclulus代考|Differentials and error analysis

定义2.4可微函数的定义允许以下解释:
F(X+ΔX)−F(X)=1摄氏度⁡F(X)⋅ΔX+|ΔX|ρ(ΔX),
或者,更简单地说,ΔF(X;ΔX)≈1摄氏度⁡F(X)⋅ΔX为了|ΔX|≪1.
这导致了构建两者的新功能的想法
X=(X1,X2,…,Xn) 和 dX=(dX1, dX2,…,dXn).
也就是说,它是一个函数2n变量。

微积分作业代写calclulus代考|Definition 3.5

功能dF具有以下三个特点:
(1)它是对变化的近似F,ΔF, 来自变化X→X+dX
(2) 它是线性的dX; (
3) 如果在考虑整体误差估计时使用它是一种自然的工具(dX)是已知的。
最后一个特征标识了差分的最有用的应用程序。
假设我们有一个数量F其值取决于许多参数,例如X1,…,Xn. 测量过程中发生的任何错误X一世导致数量错误F.
最大误差的估计F因此由
$$
|\mathrm{d} f(\Delta \boldsymbol{x})| 给出 \leq\left.\left.\left|\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right| {x}|| \Delta x {1}|+| \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right| {x}|| \Delta x {2}|+\cdots+| \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right| {x}|| \Delta x {n} \mid
$$
通过三角不等式(第 1.B 节)。
仅当知道个体的最大不确定性时,等式 (3.2) 的右侧才给出最大可能误差X一世. 如果知道确切的值dX一世(要么ΔX一世) 包括它们的符号然后我们使用微分dF(X,dX)直接给出变化的近似值ΔF=F(X+ΔX)−F(X).

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