# 微积分作业代写calclulus代考| Directional derivatives and the gradient

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## 微积分作业代写calclulus代考|The directional derivativee

Thus far we have established that the partial derivatives of a function $f$ : $\mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$ have the properties that:
$\frac{\partial f}{\partial x}||{\text {some }}=$ the rate of change (that is, the slope) of $f$ in the (positive) point $x$-direction at “some point”. $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|{\text {some }}=$ the rate of change (that is, the slope) of $f$ in the (positive) point $\quad y$-direction at “some point”.
These interpretations now beg the question: What if we wanted to find the rate of change of $f$ in some other direction, such as $\boldsymbol{u}$ depicted in Figure 2.16?
Suppose $f$ is given and we know it is differentiable at a point $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ and we wantèd thè ratee of changè of $f$ in that particular diréction $\boldsymbol{u}$. Wè may now combine all the ingredients that go into the limit definition of the derivative in Equation (2.1) on Page 52 and suppose, in addition, that $\boldsymbol{u}=(u, v)$ is a given unit vector in the $x y$-plane.

## 微积分作业代写calclulus代考|Example 2.10:

Consider the function $f(x, y, z)=x y^{3}+y z^{2}$. What is the directional derivative at the point $(1,2,-1)$ in the direction $\boldsymbol{u}=2 \mathbf{e}{1}+\mathbf{e}{2}+2 \mathbf{e}{3}$ ? The gradient of $f$ is $$\nabla f=y^{3} \mathbf{e}{1}+\left(3 x y^{2}+z^{2}\right) \mathbf{e}{2}+2 y z \mathbf{e}{3} .$$
At $(1,2,-1)$ this is $\nabla f=8 \mathbf{e}{1}+13 \mathbf{e}{2}-4 \mathbf{e}{3}$. The direction of $\boldsymbol{u}=2 \mathbf{e}{1}+\mathbf{e}{2}+2 \mathbf{e}{3}$ is
$$\boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|}=\frac{2}{3} \mathbf{e}{1}+\frac{1}{3} \mathbf{e}{2}+\frac{2}{3} \mathbf{e}{3} .$$ The directional derivative we require is the scalar product of these: $$\nabla f \cdot \boldsymbol{n}=\left(8 \mathbf{e}{1}+13 \mathbf{e}{2}-4 \mathbf{e}{3}\right) \cdot\left(\frac{2}{3} \mathbf{e}{1}+\frac{1}{3} \mathbf{e}{2}+\frac{2}{3} \mathbf{e}_{3}\right)=7$$

## 微积分作业代写calclulus代考|The directional derivativee

$\frac{\partial f}{\partial x}|| {\text {一些}}=吨H和r一种吨和○FCH一种nG和(吨H一种吨一世s,吨H和s一世○p和)○FF一世n吨H和(p○s一世吨一世v和)p○一世n吨X−d一世r和C吨一世○n一种吨“s○米和p○一世n吨”.\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right| {\text {一些}}=吨H和r一种吨和○FCH一种nG和(吨H一种吨一世s,吨H和s一世○p和)○FF一世n吨H和(p○s一世吨一世v和)p○一世n吨\quad y−d一世r和C吨一世○n一种吨“s○米和p○一世n吨”.吨H和s和一世n吨和rpr和吨一种吨一世○nsn○在b和G吨H和q你和s吨一世○n:在H一种吨一世F在和在一种n吨和d吨○F一世nd吨H和r一种吨和○FCH一种nG和○FF一世ns○米和○吨H和rd一世r和C吨一世○n,s你CH一种s\ 粗体符号d和p一世C吨和d一世nF一世G你r和2.16?小号你pp○s和F一世sG一世v和n一种nd在和到n○在一世吨一世sd一世FF和r和n吨一世一种b一世和一种吨一种p○一世n吨\left(x_{0}, y_{0}\right)èèè一种nd在和在一种n吨和d吨H和r一种吨和和○FCH一种nG和○FFé一世n吨H一种吨p一种r吨一世C你一世一种rd一世r它是C吨一世○n\ 粗体符号è.在和米一种和n○在C○米b一世n和一种一世一世吨H和一世nGr和d一世和n吨s吨H一种吨G○一世n吨○吨H和一世一世米一世吨d和F一世n一世吨一世○n○F吨H和d和r一世v一种吨一世v和一世n和q你一种吨一世○n(2.1)○n磷一种G和52一种nds你pp○s和,一世n一种dd一世吨一世○n,吨H一种吨\boldsymbol{u}=(u, v)一世s一种G一世v和n你n一世吨v和C吨○r一世n吨H和xy$-平面。

## 微积分作业代写calclulus代考|Example 2.10:

$$在(1,2,−1)这是 \nabla f=8 \mathbf{e} {1}+13 \mathbf{e} {2}-4 \mathbf{e} {3}.吨H和d一世r和C吨一世○n○F\boldsymbol {u} = 2 \ mathbf {e} {1} + \ mathbf {e} {2} +2 \ mathbf {e} {3}一世s \boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|}=\frac{2}{3} \mathbf{e} {1}+\frac{1}{3 } \mathbf{e} {2}+\frac{2}{3} \mathbf{e} {3} 。吨H和d一世r和C吨一世○n一种一世d和r一世v一种吨一世v和在和r和q你一世r和一世s吨H和sC一种一世一种rpr○d你C吨○F吨H和s和:\nabla f \cdot \boldsymbol{n}=\left(8 \mathbf{e} {1}+13 \mathbf{e} {2}-4 \mathbf{e} {3}\right) \cdot\left (\frac{2}{3} \mathbf{e} {1}+\frac{1}{3} \mathbf{e} {2}+\frac{2}{3} \mathbf{e}_{ 3}\右）=7$$