微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|Example 1.6:
We shall consider here the graph of the function
$$
f(x, y)=\frac{4 x}{1+x^{2}+y^{2}} \quad \text { for } \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2}
$$
This function features in an exercise in a later chapter. For now we are just interested in determining the form taken by the function’s graph,
$$
G=\left{(x, y, z):(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, z=f(x, y)\right} .
$$
In the steps that follow we will in essence dissect the function, and with the pieces we obtain we will build up a picture of the graph.
Step 1: The first thing to note is the domain of definition. What you would be looking for are the limits on the independent variables as well as possible points where the function is not defined. In our case, the function is defined everywhere so the domain is the entire $x y$-plane.
Step 2: The second thing to do is to look for any zeros of the function. That is, we look for intercept points in the domain at which the function takes the value zero. Here, $f=0$ when $x=0$, that is, at all points along the $y$-axis.
Step 3: We now look for any symmetry. We note that the function is odd in $x$ but even in $y$. The symmetry in $x$ means that for any fixed $y$ – which means taking a cross-section of the graph parallel to the $x$-axis – howsoever the graph appears for $x>0$, it will be inverted in the $x y$-plane for $x<0$. The symmetry in $y$ means that for any fixed $x$ (that is, a cross-section parallel to the $y$-axis) the graph will look the same on the left of $y=0$ as on the right. Note, however, that because of the oddness in $x$, the graph will sit above the $x y$-plane for $x>0$, but below the plane for $x<0$.
微积分作业代写calclulus代考|Example 1.7:
Consider $S=\left{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, a>0\right}$. This is a surface in $\mathbb{R}^{3}$, Figure $1.23$; it is a surface because there exists a relation between the three variables $(x, y, z)$. They are no longer completely independent: one variable can be considered a function of the other two.
Now set $z=0$. This simplifies to the subset satisfying $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ which is a curve (circle) in the $x y$-plane. Note that these two equations for the three variables, which is equivalent to setting two conditions on the three variables, generate a curve in $\mathbb{R}^{2}$.
A consistent interpretation is that of the intersection of two surfaces: The plane $z=0$ and the sphere $S$ giving rise to the subset of points the surfaces have in common – the circle of radius $a$ in the $x y$-plane.
Suppose that $a>2$, say, in $S$. Then setting
$$
\begin{aligned}
&z=0 \Longrightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2} \
&z=1 \Longrightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}-1<a^{2} \
&z=2 \Longrightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}-4<a^{2}-1<a^{2} \
&z=a \Longrightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}-a^{2}=0 \Longleftrightarrow x=y=0
\end{aligned}
$$
These are examples of level sets defining circles in the $x y$-plane. We will come back to discuss these in detail in Section 1.F.
微积分作业代写calclulus代考|Example 1.6:
我们将在这里考虑函数图
F(X,和)=4X1+X2+和2 为了 (X,和)∈R2
此功能在后面章节的练习中提供。现在我们只对确定函数图形所采用的形式感兴趣，
G=\left{(x, y, z):(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, z=f(x, y)\right} 。G=\left{(x, y, z):(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, z=f(x, y)\right} 。
在接下来的步骤中，我们将从本质上剖析函数，并使用我们获得的片段来构建图形的图片。
第 1 步：首先要注意的是定义域。您要寻找的是自变量的限制以及未定义函数的可能点。在我们的例子中，函数在任何地方都定义了，所以域是整个X和-飞机。
第 2 步：要做的第二件事是查找函数的任何零点。也就是说，我们在函数取零值的域中寻找截点。这里，F=0什么时候X=0，也就是说，在沿线的所有点和-轴。
第 3 步：我们现在寻找任何对称性。我们注意到这个函数是奇数的X但即使在和. 中的对称性X意味着对于任何固定的和– 这意味着取图形的横截面平行于X-axis – 无论图表显示为X>0，它将在X和-平面为X<0. 中的对称性和意味着对于任何固定的X（也就是说，横截面平行于和-axis) 左边的图形看起来是一样的和=0如右边。但请注意，由于X，图表将位于X和-平面为X>0，但在平面下方X<0.
微积分作业代写calclulus代考|Example 1.7:
考虑S=\left{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, a>0\right}S=\left{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, a>0\right}. 这是一个表面R3， 数字1.23; 它是一个表面，因为三个变量之间存在关系(X,和,和). 它们不再是完全独立的：一个变量可以被认为是另外两个变量的函数。
现在设置和=0. 这简化为满足的子集X2+和2=一种2这是一条曲线（圆）X和-飞机。注意这两个方程对三个变量，相当于对三个变量设置两个条件，生成曲线R2.
一个一致的解释是两个表面的交点： 平面和=0和球体小号产生表面共同点的子集——半径圆一种在里面X和-飞机。
假设一种>2, 说, 在小号. 然后设置
和=0⟹X2+和2=一种2 和=1⟹X2+和2=一种2−1<一种2 和=2⟹X2+和2=一种2−4<一种2−1<一种2 和=一种⟹X2+和2=一种2−一种2=0⟺X=和=0
这些是定义圆的水平集的例子X和-飞机。我们将在第 1.F 节中详细讨论这些内容。
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