微积分作业代写calclulus代考| Extreme points: The complete story

微积分作业代写calclulus代考|    Extreme points: The complete story

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Remarks

  • The difference between Definition $3.1$ and Definition $3.4$ lies in the set of points considered. In Definition $3.1$ only points in the immediate neighbourhood, $S_{r}(\boldsymbol{a})$, of $\boldsymbol{a}$ are considered, while in Definition $3.4$ all points in the domain, $D_{f}$, of the function are involved.
  • Definition $3.4$ implies that a critical point, even if a point of local maximum or local minimum, need not be a point of absolute maximum or minimum.

Earlier we said that critical points are examples of extreme points. However, there are other types of extreme points which are not found using the gradient. These are

微积分作业代写calclulus代考|Optimization over compact domains

Recall our definition of a compact set (Definition 1.8): a set $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is said to be compact if it is closed and bounded.

For any function defined on a region $\Omega \subseteq D_{f}$ that is compact, we have the following very useful result.
Theorem $3.2$
$A$ continuous real-valued function defined on a compact region, $\Omega$, obtains an absolute maximum and an absolute minimum value.
A few comments on this theorem are warranted.
Firstly, it is not necessary that the region being considered is the function’s entire domain of definition, $D_{f}$, but it might be. The problem statement will usually specify this. If no region is given then the reader should assume the whole of $D_{f}$ is implied.

Secondly, by Theorem 1.2, a continuous function defined on a closed and bounded region is necessarily bounded. This means that $|f(\boldsymbol{x})|<K$ for some $K \in \mathbb{R}$ and for all $\boldsymbol{x}$ in that region. This simple result implies that we should expèct $f$ to exhibit an absoolutẻ minimum and an absolutẻ maximum. In fact, this is the only time we are guaranteed that absolute maximum and minimum points exist.

The reader should always bear in mind that a continuous function is not necessarily differentiable everywhere. A consequence of this is that singular points can exist. These should then be inspected separately to any critical points. Naturally, the appealing notion of a closed and finite domain means

that the domain boundary (boundary points) need also to be considered separately.
We illustrate Theorem $3.2$ in action with the following examples.

微积分作业代写calclulus代考| Extreme points: The complete story

微积分作业代写calclulus代考|Remarks

  • 定义的区别3.1和定义3.4在于所考虑的点集。在定义中3.1只在附近的点,小号r(一种), 的一种被考虑,而在定义3.4域中的所有点,DF, 的功能都涉及。
  • 定义3.4意味着一个临界点,即使是局部最大值或局部最小值,也不必是绝对最大值或最小值的点。

前面我们说过,临界点是极值点的例子。但是,还有其他类型的极值点是使用梯度找不到的。这些是

微积分作业代写calclulus代考|Optimization over compact domains

回想一下我们对紧集的定义(定义 1.8):Ω⊆Rn如果它是封闭且有界的,则称它是紧致的。

对于区域上定义的任何函数Ω⊆DF即紧凑,我们有以下非常有用的结果。
定理3.2
一种在紧凑区域上定义的连续实值函数,Ω, 获得绝对最大值和绝对最小值。
对这个定理的一些评论是有道理的。
首先,所考虑的区域不必是函数的整个定义域,DF, 但它可能是。问题陈述通常会指定这一点。如果没有给出区域,那么读者应该假设整个DF是暗示的。

其次,根据定理 1.2,定义在封闭和有界区域上的连续函数必然是有界的。这意味着|F(X)|<到对于一些到∈R并为所有人X在那个地区。这个简单的结果意味着我们应该期望F表现出绝对最小值和绝对最大值。事实上,这是我们唯一一次保证绝对最大和最小点存在。

读者应始终牢记,连续函数不一定处处可微。其结果是可以存在奇异点。然后,应分别对任何关键点进行检查。自然,封闭和有限域的吸引人的概念意味着

域边界(边界点)也需要单独考虑。
我们说明定理3.2通过以下示例进行操作。

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