微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|Gauss’s theorem
On $S_{1}: \quad S_{1}={\boldsymbol{x}:(x, y) \in D, z=h(x, y)}, \quad \boldsymbol{N}{1}=\frac{\left(\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y},-1\right)}{\sqrt{\cdots \cdots}}$. On $S{2}: N_{2}$ is orthogonal to $\mathbf{e}{3}$. On $S{3}: \quad S_{3}={\boldsymbol{x}:(x, y) \in D, z=g(x, y)}, \quad \boldsymbol{N}{3}=\frac{\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, 1\right)}{\sqrt{\cdots \cdots}}$ Now let’s work with the $f{3}$ component of the flux integral.
$$
\begin{aligned}
\int_{S}\left(f_{3} \mathbf{e}{3}\right) \cdot \mathrm{d} S &=\iint{S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}}\left(f_{3} \mathbf{e}{3} \cdot \mathbf{N}\right) \mathrm{d} S \ &=\iint{S_{1}}\left(f_{3} \mathbf{e}{3} \cdot \mathbf{N}{1}\right) \mathrm{d} S+\iint_{S_{2}}\left(f_{3} \mathbf{e}{3} \cdot \mathbf{N}{2}\right) \mathrm{d} S+\iint_{S_{3}}\left(f_{3} \mathbf{e}{3} \cdot \mathbf{N}{3}\right) \mathrm{d} S \
&=-\iint_{\Gamma} f_{3}(x, y, h) \mathrm{d} A+\iint_{\Gamma} f_{3}(x, y, g) \mathrm{d} A \
&=\iint_{D}\left(\int_{h(x, y)}^{g(x, y)} \frac{\mathrm{d} f_{3}}{\mathrm{~d} z} \mathrm{~d} z\right) \mathrm{d} A=\iiint_{V} \frac{\partial f_{3}}{\partial z} \mathrm{~d} V
\end{aligned}
$$
We can manipulate the other cases in analogous ways. Adding these contributions we get the desired result.
微积分作业代写calclulus代考|Example 5.10
Determine the flux of $f=\left(x^{3}, y^{3}, z^{3}\right)$ out of the sphere in Figure $5.38$ : $S=\left{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\right}$.
The vector field $f$ is clearly $C^{1}$, and $S$ is closed with a continuously varying normal, $\boldsymbol{N}$. So we can use Gauss’s theorem.
$$
\begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} &=\iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{f} \mathrm{d} V \
&=\iiint_{V}\left(3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} V=3 \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V
\end{aligned}
$$
We naturally change to spherical coordinates. (See Mastery Check 4.7.)
$$
x=\rho \sin \phi \cos \theta, y=\rho \sin \phi \sin \theta, z=\rho \cos \phi, x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}
$$
The values $0 \leq \rho \leq a, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \phi \leq \pi$ cover all points in $V$, the
interior of $S$. The differential $\mathrm{d} V=\rho^{2} \sin \phi \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi$. Thus
$$
\begin{aligned}
&\oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=3 \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V \
&=3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{a} \rho^{2} \cdot \rho^{2} \sin \phi \mathrm{d} \rho=3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\pi} \frac{1}{5} a^{5} \sin \phi \mathrm{d} \phi \
&=\frac{3}{5} a^{5} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta[-\cos \phi]_{0}^{\pi}=\frac{12 \pi a^{5}}{5} .
\end{aligned}
$$
微积分作业代写calclulus代考|Gauss’s theorem
在小号1:小号1=X:(X,和)∈D,和=H(X,和),ñ1=(∂H∂X,∂H∂和,−1)⋯⋯. 在小号2:ñ2正交于和3. 在小号3:小号3=X:(X,和)∈D,和=G(X,和),ñ3=(∂G∂X,∂G∂和,1)⋯⋯现在让我们使用F3通量积分的组成部分。
∫小号(F3和3)⋅d小号=∬小号1∪小号2∪小号3(F3和3⋅ñ)d小号 =∬小号1(F3和3⋅ñ1)d小号+∬小号2(F3和3⋅ñ2)d小号+∬小号3(F3和3⋅ñ3)d小号 =−∬ΓF3(X,和,H)d一种+∬ΓF3(X,和,G)d一种 =∬D(∫H(X,和)G(X,和)dF3 d和 d和)d一种=∭五∂F3∂和 d五
我们可以以类似的方式操纵其他情况。添加这些贡献，我们得到了预期的结果。
微积分作业代写calclulus代考|Example 5.10
确定流量F=(X3,和3,和3)出图中的球体5.38:S=\left{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\right}S=\left{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\right}.
向量场F显然是C1， 和小号以连续变化的法线闭合，ñ. 所以我们可以使用高斯定理。
∫小号F⋅d小号=∭五∇⋅Fd五 =∭五(3X2+3和2+3和2)d五=3∭五(X2+和2+和2)d五
我们自然而然地更改为球坐标。（参见精通检查 4.7。）
X=ρ没有φ某物θ,和=ρ没有φ没有θ,和=ρ某物φ,X2+和2+和2=ρ2
价值0≤ρ≤一种,0≤θ≤2圆周率,0≤φ≤圆周率覆盖所有点五， 这
的内部小号. 差速器d五=ρ2没有φdρdθdφ. 因此
\oiint小号F⋅d小号=3∭五(X2+和2+和2)d五 =3∫02圆周率dθ∫0圆周率dφ∫0一种ρ2⋅ρ2没有φdρ=3∫02圆周率dθ∫0圆周率15一种5没有φdφ =35一种5∫02圆周率dθ[−某物φ]0圆周率=12圆周率一种55.
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