微积分作业代写calclulus代考| Generalized (improper) integrals in R2

微积分作业代写calclulus代考|  Generalized (improper) integrals in R2

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Improper integrals in analysis

Nevertheless, guided by the above theorems we jump straight to the task of evaluating the iterated integral forms of a generalized multiple integral. In tackling improper iterated integrals we take advantage of the wisdom of single-variable calculus.
In single-variable calculus, the improper definite integral $\int_{I} f(x) \mathrm{d} x$, for $f(x)>0$ over the domain $I$, exists if $\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}} J(\epsilon)=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) \mathrm{d} x, a<b$ exists, when $f$ is a function which diverges at the integration limit $x=a \in \bar{I}$ (Figure $4.15(\mathrm{a})$ ); or $\lim {R \rightarrow \infty} J(R)=\lim {R \rightarrow \infty} \int_{a}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ exists, when $I$ is the unbounded domain, $I=[a, \infty)$ (Figure 4.15(b)).

In Figure 4.15(a) the function $f$ is singular at the lower limit $x=a$, while in Figure $4.15(\mathrm{~b})$ the domain $I$ is unbounded.

The student reader will no doubt note the similarity between the two scenarios. The common denominator is the integration domain $D$ and in each case the sequence of smaller domains that do not present any difficulty. Note that the arguments below are valid and can substantiated only for the case of functions $f(x, y)$ that do not change sign over the integration region.

微积分作业代写calclulus代考|A y-simple domain in a rectangle R

We notice that both cases rely on the Riemann theory of integration of a continuous function defined on a bounded sub-domain to give a finite number $J(\epsilon)$ and $J(R)$, respectively. And both cases subsequently test the convergence of limits, the first $\lim {\epsilon \rightarrow 0} J(\epsilon)$ and the second $\lim {R \rightarrow \infty} J(R)$, respectively, to define and provide the integrals wanted.
In multivariable calculus the improper multiple integral
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} A \quad(\text { for } f(x, y)>0)
$$
is similarly to be identified as a suitable limit. In practice we work with the iterated integral version of this double integral. However, the multiple integral version of the principle is more easily described using the double integral itself.

The student reader will no doubt note the similarity between the two scenarios. The common denominator is the integration domain $D$ and in each case the sequence of smaller domains that do not present any difficulty. Note that the arguments below are valid and can substantiated only for the case of functions $f(x, y)$ that do not change sign over the integration region.

Suppose $D$ is an unbounded domain, but contains bounded subsets, $D_{n}$, represented in Figure 4.16(a) such that
$$
D_{n} \subset D_{n+1} \subset D \forall n \text { and } \bigcup^{\infty} D_{n}=D .
$$
Every point in $D$ belongs to at least one of the $D_{n}$.
On the other hand, suppose $D$ is a domain containing a singular point of $f$, but which contains bounded subsets, $D_{n}$, as illustrated in Figure $4.16(\mathrm{~b})$,

that exclude that point.
$$
D_{n} \subset D_{n+1} \subset D \forall n \text { and } \bigcup_{n=1}^{\infty} D_{n}=D .
$$
Every point in $D$ belongs to at least one of the $D_{n}$.
In either case we have the following useful result.

微积分作业代写calclulus代考| Generalized (improper) integrals in R2

微积分作业代写calclulus代考|Improper integrals in analysis

然而,在上述定理的指导下,我们直接跳到评估广义多重积分的迭代积分形式的任务。在处理不正确的迭代积分时,我们利用了单变量微积分的智慧。
在单变量微积分中,不正确的定积分∫一世F(X)dX, 为了F(X)>0在域上一世, 如果存在林ε→0+Ĵ(ε)=林ε→0+∫一种+εbF(X)dX,一种<b存在,当F是在积分极限处发散的函数X=一种∈一世¯(数字4.15(一种)); 要么林R→∞Ĵ(R)=林R→∞∫一种RF(X)dX存在,当一世是无界域,一世=[一种,∞)(图 4.15(b))。

在图 4.15(a) 中,函数F在下限是奇异的X=一种, 而在图4.15( b)域一世是无界的。

学生读者无疑会注意到这两种情况之间的相似性。共同点是集成域D并且在每种情况下都是不存在任何困难的较小域的序列。请注意,下面的论点是有效的,并且只能在函数的情况下得到证实F(X,和)不改变积分区域上的符号。

微积分作业代写calclulus代考|A y-simple domain in a rectangle R

我们注意到,这两种情况都依赖于定义在有界子域上的连续函数积分的黎曼理论来给出有限数Ĵ(ε)和Ĵ(R), 分别。这两种情况随后都测试了极限的收敛性,第一个林ε→0Ĵ(ε)第二个林R→∞Ĵ(R),分别定义和提供所需的积分。
在多变量微积分中,不正确的多重积分
∬DF(X,和)d一种( 为了 F(X,和)>0)
类似地被确定为合适的限制。在实践中,我们使用这个双积分的迭代积分版本。但是,使用双积分本身更容易描述该原理的多重积分版本。

学生读者无疑会注意到这两种情况之间的相似性。共同点是集成域D并且在每种情况下都是不存在任何困难的较小域的序列。请注意,下面的论点是有效的,并且只能在函数的情况下得到证实F(X,和)不改变积分区域上的符号。

认为D是一个无界域,但包含有界子集,Dn,如图 4.16(a) 所示,使得
Dn⊂Dn+1⊂D∀n 和 ⋃∞Dn=D.
中的每一点D至少属于其中之一Dn.
另一方面,假设D是一个包含奇异点的域F,但其中包含有界子集,Dn,如图所示4.16( b),

排除了这一点。
Dn⊂Dn+1⊂D∀n 和 ⋃n=1∞Dn=D.
中的每一点D至少属于其中之一Dn.
无论哪种情况,我们都有以下有用的结果。

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