微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|Sketch proof of Green’s theorem
Suppose $D$ is $x$-simple and $y$-simple. As indicated in Figure $5.52$ functions $\phi_{1}, \phi_{2}, \psi_{1}$, and $\psi_{2}$ can be found such that
$$
D=\left{(x, y): a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)\right}
$$
and
$$
D=\left{(x, y): c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)\right}
$$
Suppose also that all integrals exist.
We shall show that $\iint_{D} \frac{\partial f_{2}}{\partial x} \mathrm{~d} A=\oint_{\Gamma} f_{2} \mathrm{~d} y$ :
5.F Green’s and Stokes’s
285
Treating $D$ as a $y$-simple domain we get
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \frac{\partial f_{2}}{\partial x} \mathrm{~d} A &=\int_{c}^{d} \mathrm{~d} y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} \frac{\partial f_{2}}{\partial x} \mathrm{~d} x \
&=\int_{c}^{d} f_{2}\left(\psi_{2}(y), y\right) \mathrm{d} y-\int_{c}^{d} f_{2}\left(\psi_{1}(y), y\right) \mathrm{d} y \
&=\int_{\psi_{2}} f_{2} \mathrm{~d} y+\int_{-\psi_{1}} f_{2} \mathrm{~d} y=\oint_{\Gamma} f_{2} \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$
An analogous argument treating $D$ as an $x$-simple domain will show that $\iint_{D} \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \mathrm{~d} A=-\oint_{\Gamma} f_{1} \mathrm{~d} x$, and the theorem is proved.
微积分作业代写calclulus代考|Stokes’s theorem
- Suppose we apply the mean value theorem to the surface integral in Stokes’s theorem:
$$
\iint_{S}(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{f}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\left.(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{f})\right|{\boldsymbol{r}{0}} \cdot \boldsymbol{N}\left(\boldsymbol{r}{0}\right) \iint{S} \mathrm{~d} S
$$
for $\boldsymbol{f} \in C^{1}$ and some point $\boldsymbol{r}{0} \in S$. In the limit, as $S, \Gamma \longrightarrow 0$ $\left.(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{f})\right|{\boldsymbol{r}} \cdot \boldsymbol{N}(\boldsymbol{x})=\lim {S \rightarrow 0} \frac{1}{S} \oint{\Gamma} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}(\boldsymbol{x}$ common to all $S$ in this limit) - the component of $\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{f}$ normal to $S$ at $\boldsymbol{x} \in S$ is the work done per unit area in traversing an oriented contour $\Gamma$ of vanishing length
- If $\boldsymbol{f} \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ is conservative, then by Theorem $5.2 \oint_{\Gamma} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=0$, and Stokes’s theorem implies that $\iint_{S}(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{f}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$.
- Conversely, if for $f \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ we find that
$$
\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}, \quad \frac{\partial f_{3}}{\partial x}=\frac{\partial f_{1}}{\partial z}, \quad \frac{\partial f_{3}}{\partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial z}
$$
in some simply-connected domain, then
$$
\text { curl } f=\nabla \times f=0 \text {. }
$$ - the vector field $f$ is then said to be irrotational and Stokes’s theorem implies that $\oint_{\Gamma} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=0$ for all closed curves $\Gamma$ in that domain. That is, $f$ is conservative. This important result is an extension to $3 \mathrm{D}$ of Theorem $5.5$ and warrants its own theorem status.
微积分作业代写calclulus代考|Sketch proof of Green’s theorem
认为D是X-简单和和-简单的。如图所示5.52职能φ1,φ2,ψ1， 和ψ2可以发现这样
D=\left{(x, y): a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)\right}D=\left{(x, y): a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)\right}
和
D=\left{(x, y): c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)\right}D=\left{(x, y): c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)\right}
还假设所有积分都存在。
我们将证明∬D∂F2∂X d一种=∮ΓF2 d和:
5.F Green’s and Stokes’s
285
TreatingD已经有和-我们得到的简单域
∬D∂F2∂X d一种=∫Cd d和∫ψ1(和)ψ2(和)∂F2∂X dX =∫CdF2(ψ2(和),和)d和−∫CdF2(ψ1(和),和)d和 =∫ψ2F2 d和+∫−ψ1F2 d和=∮ΓF2 d和
一个类似的论点处理D作为一个X-simple 域将显示∬D∂F1∂和 d一种=−∮ΓF1 dX, 定理得到证明。
微积分作业代写calclulus代考|Stokes’s theorem
- 假设我们将中值定理应用于斯托克斯定理中的曲面积分：
∬小号(∇×F)⋅d小号=(∇×F)|r0⋅ñ(r0)∬小号 d小号
为了F∈C1还有一点r0∈小号. 在极限内，如小号,Γ⟶0 (∇×F)|r⋅ñ(X)=林小号→01小号∮ΓF⋅dr(X共同的小号在这个限度内） - 的组成部分∇×F正常到小号在X∈小号是在穿过有向轮廓时每单位面积所做的功Γ消失的长度
- 如果F∈C1(R3)是保守的，那么由定理5.2∮ΓF⋅dr=0, 斯托克斯定理意味着∬小号(∇×F)⋅d小号=0.
- 相反，如果对于F∈C1(R3)我们发现
∂F1∂和=∂F2∂X,∂F3∂X=∂F1∂和,∂F3∂和=∂F2∂和
在某个单连通域中，则
卷曲 F=∇×F=0. - 向量场F被称为是无旋的并且斯托克斯定理意味着∮ΓF⋅dr=0对于所有闭合曲线Γ在那个领域。那是，F是保守的。这一重要结果是对3D定理5.5并保证它自己的定理地位。
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