微积分作业代写calclulus代考| Higher-order derivatives

微积分作业代写calclulus代考|    Higher-order derivatives

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Higher-order derivatives

each of which describes a second-order partial derivative. First, a partial derivative w.r.t. $x$, then a partial derivative w.r.t. $y$. The reader should exercise some care in interpreting the different notations.

We are now implored to explain what higher partial derivatives are. It suffices to consider a function of two variables, $f(x, y)$. If $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|{\left(x{0}, y_{0}\right)}$ is the slope of the tangent to $f$ at $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ in the direction of $x$, then, just as in the single-variable case, $\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|{\left(x{0}, y_{0}\right)}$ is the rate of change of the slope in this same direction. It is therefore a measure of the curvature of $f$ in this direction. On the other hand, $\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\right|{\left(x{0}, y_{0}\right)}$ is the rate of change of the $x$-directional slope in the $y$-direction.
A convenient and useful result for so-called smooth functions which, apart from their applications in applied contexts (Chapters 3 and 5 ), relieves some of the stress of interpreting notation, is the following.
Theorem 2.5
Suppose $f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ is continuous and $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}, i=1,2, \ldots, n$ exist and are continuous in $S_{r}(\boldsymbol{x}) \subset D_{f}$ and that both $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$ and $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}}$ exist and are continuous at $\boldsymbol{x} \in D_{f}$. Then $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}}$ at $\boldsymbol{x} \in D_{f}$.
(For the standard proof, see a standard text book such as [1] or [2].) Note the conditions of the above theorem highlighted in Figure 2.18.

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微积分作业代写calclulus代考|Mastery Check 2.16:

Determine all $C^{2}$ functions $f(x, y)$ such that
a) $\frac{\partial f}{\partial x}-2 x \sin x^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}-\cos y$.
b) $\frac{\partial f}{\partial x}=2 x+y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2 y+x$.
c) $\frac{\partial f}{\partial x}=x+3 y x^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}+x y$.

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其中每一个都描述了一个二阶偏导数。首先,偏导wrtX,然后是偏导数和. 读者在解释不同的符号时应小心谨慎。

现在请我们解释什么是更高的偏导数。考虑两个变量的函数就足够了,F(X,和). 如果 $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right| {\left(x {0}, y_{0}\right)}一世s吨H和s一世○p和○F吨H和吨一种nG和n吨吨○F一种吨\left(x_{0}, y_{0}\right)一世n吨H和d一世r和C吨一世○n○FX,吨H和n,j你s吨一种s一世n吨H和s一世nG一世和−v一种r一世一种b一世和C一种s和,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right| {\left(x {0}, y_{0}\right)}一世s吨H和r一种吨和○FCH一种nG和○F吨H和s一世○p和一世n吨H一世ss一种米和d一世r和C吨一世○n.一世吨一世s吨H和r和F○r和一种米和一种s你r和○F吨H和C你rv一种吨你r和○FF一世n吨H一世sd一世r和C吨一世○n.○n吨H和○吨H和rH一种nd,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\right| {\left(x {0}, y_{0}\right)}一世s吨H和r一种吨和○FCH一种nG和○F吨H和X−d一世r和C吨一世○n一种一世s一世○p和一世n吨H和和−d一世r和C吨一世○n.一种C○nv和n一世和n吨一种nd你s和F你一世r和s你一世吨F○rs○−C一种一世一世和ds米○○吨HF你nC吨一世○ns在H一世CH,一种p一种r吨Fr○米吨H和一世r一种pp一世一世C一种吨一世○ns一世n一种pp一世一世和dC○n吨和X吨s(CH一种p吨和rs3一种nd5),r和一世一世和v和ss○米和○F吨H和s吨r和ss○F一世n吨和rpr和吨一世nGn○吨一种吨一世○n,一世s吨H和F○一世一世○在一世nG.吨H和○r和米2.5小号你pp○s和f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}一世sC○n吨一世n你○你s一种nd\frac{\partial f}{\partial x_{i}}, i=1,2, \ldots, n和X一世s吨一种nd一种r和C○n吨一世n你○你s一世nS_{r}(\boldsymbol{x}) \subset D_{f}一种nd吨H一种吨b○吨H\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}一种nd\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}}和X一世s吨一种nd一种r和C○n吨一世n你○你s一种吨\boldsymbol{x} \in D_{f}.吨H和n\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i} }一种吨\boldsymbol{x} \in D_{f}$。
(有关标准证明,请参阅标准教科书,例如 [1] 或 [2]。)请注意图 2.18 中突出显示的上述定理的条件。

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微积分作业代写calclulus代考|Mastery Check 2.16:

确定所有C2职能F(X,和)这样
一)∂F∂X−2X没有⁡X2,∂F∂和−某物⁡和.
b)∂F∂X=2X+和,∂F∂和=2和+X.
C)∂F∂X=X+3和X2,∂F∂和=X3+X和.

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