微积分作业代写calclulus代考| Implicit functions

微积分作业代写calclulus代考|    Implicit functions

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Example 2.13:

Suppose the equation $x^{3} y+2 y^{3} x=3$ defines $y$ as a function $f$ of $x$ in the neighbourhood of the point $(1,1)$. We wish to find the derivative of $f$ at $x=1$, and a linear approximation to $f$ near the point. Let $F(x, y)=x^{3} y+2 y^{3} x-3$.
Note that $F \in C^{1} \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$. Then we have
$$
\frac{\partial F}{\partial x}=3 x^{2} y+2 y^{3}, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=x^{3}+6 x y^{2}
$$
We note that $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$ at $(1,1)$. Thus, from our linear approximation we have $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{(1,1)}=-\frac{3+2}{1+6}=-\frac{5}{7}$
The linear approximation is $y=-\frac{5}{7} x+c$. To determine $c$, use the fact that the line passes through $(1,1)$, giving $y=-\frac{5}{7} x+\frac{12}{7}$.

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Suppose we are given the following task: In each of the cases below express the variable $y$ as a function of the remaining variables:
(a) $8 y+64 x^{2}=0$;
(b) $2 y^{2}+8 y+16 z \sin x=0$;
(c) $\ln |y|+y^{3} x+20 x^{2}=w$.
I am as certain that you cannot complete task (c) as I am that you can complete tasks (a) and (b). Although task (c) is impossible, the equation suggests there is a functional relationship, in principle.

This introduces the notion of an implied or implicit function. In task (c) the equation implies that $y$ can be a function $f$ of the variables $x$ and $w$. What we shall do in this section is establish conditions under which such a function is defined, at least locally. Along the way we will get, as reward, a linear approximation to this unknown function, in terms of the independent variables near a given point, and an explicit expression, and value, for the derivative (or derivatives) of this function at that point.

As before we explain by considering examples of increasing complexity. In each case we will also discuss an analogous linear problem. Since the argument we follow is based on linearization, we hope that the parallels will facilitate reader understanding. The purist reader may frown on the questionable rigour. However, the possibility of greater appreciation for the end result is worth sacrificing some degree of mathematical sophistication.
Suppose we are given the following three problems:
1) $\mathrm{e}^{x+y}+x y=0 \Longrightarrow F(x, y)=0$

  • a level curve.
    2) $\mathrm{e}^{x+y+z}-(x+y+z)^{2}=1 \Longrightarrow \quad F(x, y, z)=0 \quad-$ a level surface.
    $3)$
    $\left{\begin{array}{r}e^{x+y+z}-(x+y+z)^{2}-1=0 \ z \sin (x y)-x \cos (z y)=0\end{array} \Longrightarrow\left{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0 \ G(x, y, z)=0\end{array}\right.\right.$
  • a curve of intersection.
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微积分作业代写calclulus代考|Example 2.13:

假设方程X3和+2和3X=3定义和作为一个函数F的X在该点附近(1,1). 我们希望找到的导数F在X=1, 和一个线性近似F点附近。让F(X,和)=X3和+2和3X−3.
注意F∈C1∀(X,和)∈R2. 然后我们有
∂F∂X=3X2和+2和3,∂F∂和=X3+6X和2
我们注意到∂F∂和≠0在(1,1). 因此,根据我们的线性近似,我们有d和 dX|(1,1)=−3+21+6=−57
线性近似是和=−57X+C. 确定C, 利用线通过的事实(1,1), 给和=−57X+127.

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假设我们被赋予以下任务:在以下每种情况下,表达变量和作为剩余变量的函数:
(a)8和+64X2=0;
(二)2和2+8和+16和没有⁡X=0;
(C)ln⁡|和|+和3X+20X2=在.
我确信你不能完成任务 (c),就像我确信你可以完成任务 (a) 和 (b)。尽管任务 (c) 是不可能的,但该等式表明原则上存在函数关系。

这引入了隐含或隐含函数的概念。在任务 (c) 中,等式意味着和可以是一个函数F变量的X和在. 我们将在本节中做的是建立条件,至少在本地定义这样的功能。一路走来,作为奖励,我们将根据给定点附近的自变量,以及该函数在该点的导数(或多个导数)的显式表达式和值,获得该未知函数的线性近似.

如前所述,我们通过考虑复杂性增加的示例来解释。在每种情况下,我们还将讨论一个类似的线性问题。由于我们遵循的论点是基于线性化的,我们希望这些相似之处将有助于读者理解。纯粹的读者可能会对有问题的严谨性皱眉。然而,对最终结果的更大评价的可能性值得牺牲一定程度的数学复杂性。
假设我们遇到以下三个问题:
1)和X+和+X和=0⟹F(X,和)=0

  • 一条水平曲线。
    2)和X+和+和−(X+和+和)2=1⟹F(X,和,和)=0−一个水平面。
    3)
    $\左{和X+和+和−(X+和+和)2−1=0 和没有⁡(X和)−X某物⁡(和和)=0\长右箭头\左{F(X,和,和)=0 G(X,和,和)=0\对。\对。$
  • 一条相交曲线。
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