微积分作业代写calclulus代考| Integration over complex domains

微积分作业代写calclulus代考|  Integration over complex domains

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Integration over complex domains

and do not depend on $y$. Only in the case of rectangular domains will the limits of both the inner and outer integrals be constants!

For an $x$-simple domain, with $D=\left{(x, y): c \leq y \leq d, h_{1}(y) \leq x \leq h_{2}(y)\right}$, we get the analogous result
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} A=\int_{C}^{d} \mathrm{~d} y \int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)} f(x, y) \mathrm{d} x .
$$
Once again, the limits of the inner integral depend on the outer integral variable; the limits of the inner integral here depend on $y$ and do not depend on $x$.

Through a very simple development we have arrived at very natural generalizations of iterated integrals over rectangles. Moreover, in the process we have done away with the extensions we used in this development.

The reader should now bear two things in mind. First, the order in which the iterated integrals are to be performed must be strictly adhered to. Second, interchanging the order will always involve a change in the limits. This is illustrated in Example $4.2$ wherein a double integral is evaluated in two ways. The reader should note the limits on the two inner integrals and how they come about (see the vertical and horizontal bars in Figure 4.14).

微积分作业代写calclulus代考|A y-simple domain in a rectangle R

Third, we bring these ideas together to arrive at a strategy for evaluating integrals over non-rectangular domains. We demonstrate this with a $y$-simple domain (Fig. 4.13).

By construction we have the iterated integral of $\hat{f}$ over $R=[a, b] \times[c, d] \supset D$,
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} A=\iint_{R} \hat{f}(x, y) \mathrm{d} A=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{c}^{d} \hat{f}(x, y) \mathrm{d} y
$$
However, for every value of the outer integral variable $x, \hat{f}=0$ outside the interval $g_{1}(x) \leq y \leq g_{2}(x)$, and $\hat{f}=f$ in the interior of that interval. Hence,
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} A=\underbrace{\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y}_{\text {iterated integral of } f \text { over } D}
$$
We can now invoke the contrast alluded to earlier regarding the variable dependence of the limits of the inner integral. For all cases of non-rectangular domains, the limits of the inner integral will be functions of the outer integral variable. In the above example, the limits on the inner integral depend on $x$

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并且不依赖和. 只有在矩形域的情况下,内积分和外积分的极限都是常数!

为X- 简单域,具有D=\left{(x, y): c \leq y \leq d, h_{1}(y) \leq x \leq h_{2}(y)\right}D=\left{(x, y): c \leq y \leq d, h_{1}(y) \leq x \leq h_{2}(y)\right},我们得到类似的结果
∬DF(X,和)d一种=∫Cd d和∫H1(和)H2(和)F(X,和)dX.
再一次,内积分的极限取决于外积分变量;这里内积分的极限取决于和并且不依赖X.

通过一个非常简单的开发,我们得到了矩形上迭代积分的非常自然的推广。此外,在此过程中,我们已经取消了我们在此开发中使用的扩展。

读者现在应该记住两件事。首先,必须严格遵守迭代积分的执行顺序。其次,交换顺序总是会改变限制。这在示例中进行了说明4.2其中双积分以两种方式计算。读者应该注意两个内积分的限制以及它们是如何产生的(参见图 4.14 中的垂直和水平条)。

微积分作业代写calclulus代考|A y-simple domain in a rectangle R

第三,我们将这些想法结合在一起,得出一种评估非矩形域积分的策略。我们用一个和- 简单域(图 4.13)。

通过构造,我们有迭代积分F^超过R=[一种,b]×[C,d]⊃D,
∬DF(X,和)d一种=∬RF^(X,和)d一种=∫一种b dX∫CdF^(X,和)d和
但是,对于外部整数变量的每个值X,F^=0区间外G1(X)≤和≤G2(X), 和F^=F在那个区间的内部。因此,
∬DF(X,和)d一种=∫一种b dX∫G1(X)G2(X)F(X,和)d和⏟的迭代积分 F 超过 D
我们现在可以调用前面提到的关于内部积分极限的变量依赖性的对比。对于非矩形域的所有情况,内部积分的限制将是外部积分变量的函数。在上面的例子中,内积分的限制取决于X

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