微积分作业代写calclulus代考| Iterated integration in $\mathbb{R}^{2}$

微积分作业代写calclulus代考| Iterated integration in $\mathbb{R}^{2}$

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Integration of f : I ⊂ R −→ R

Iterated integration is the workhorse of multiple integrals.
The definition of the multiple integral as the limit of a sum is not practical. Fortunately, there is an alternative. The suggestion is made that we calculate our “volumes” by slicing rather than by dicing.

Consider the thin slice of the “body” under $f$ shown in Figure 4.7. The area of the left-hand side face, that is, the area under the curve of constant $y, y=y_{0}$, is $A\left(y_{0}\right)=\int_{a}^{b} f\left(x, y_{0}\right) \mathrm{d} x$. Similarly, $A\left(y_{0}+\Delta y\right)=\int_{a}^{b} f\left(x, y_{0}+\Delta y\right) \mathrm{d} x$ is the area of the right-hand side face.

If $|\Delta y|$ is a small increment then $A\left(y_{0}\right) \approx A\left(y_{0}+\Delta y\right)$, which is easy to see by expanding $f\left(x, y_{0}+\Delta y\right)$ in a Taylor series about $\left(x, y_{0}\right)$. Then, using the simple two-point trapezoidal rule approximation, the volume of the “slice” is approximately
$$
\begin{aligned}
V\left(y_{0}\right) &=\frac{1}{2}\left(A\left(y_{0}\right)+A\left(y_{0}+\Delta y\right)\right) \Delta y \
&=A\left(y_{0}\right) \Delta y+O\left(\Delta y^{2}\right)
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考|The geometric interpretation of σn for f : I −→ R

The total volume of the “body” under $f(x, y)$ is then the limiting sum of these $1 \mathrm{D}$ volumes of slices (Definition 4.1) as $\Delta y \rightarrow 0$. That is, the volume under $f(x, y)$ over $R$ is the Riemann integral of $A(y)$ over the interval $c \leq y \leq d$ :
$$
V=\int_{c}^{d} A(y) \mathrm{d} y=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y
$$
Alternatively, slicing parallel to the $y$-axis instead of the above would give
$$
V=\int_{a}^{b} A(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x
$$
which must give the exact same value for the volume.
Hence, for integration over the rectangle $[a, b] \times[c, d]$ we have the important result
$$
\underbrace{\iint_{R} f(x, y) \mathrm{d} A}{\text {double integral of }}=\underbrace{\int{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y}_{\text {iterated integrals of } f \text { over } R}
$$
The left-hand side is the definition of a double integral, while the two righthand sides are the actual ways one can evaluate the double integral.

微积分作业代写calclulus代考| Iterated integration in $\mathbb{R}^{2}$

微积分作业代写calclulus代考|Integration of f : I ⊂ R −→ R

迭代积分是多重积分的主力。
将多重积分定义为和的极限是不切实际的。幸运的是,还有另一种选择。建议我们通过切片而不是切块来计算我们的“体积”。

考虑下“身体”的薄片F如图 4.7 所示。左侧面的面积,即常数曲线下的面积和,和=和0, 是一种(和0)=∫一种bF(X,和0)dX. 相似地,一种(和0+Δ和)=∫一种bF(X,和0+Δ和)dX是右侧面的面积。

如果|Δ和|那么是一个小增量一种(和0)≈一种(和0+Δ和), 通过展开很容易看到F(X,和0+Δ和)在泰勒级数中(X,和0). 然后,使用简单的两点梯形规则近似,“切片”的体积约为
五(和0)=12(一种(和0)+一种(和0+Δ和))Δ和 =一种(和0)Δ和+○(Δ和2)

微积分作业代写calclulus代考|The geometric interpretation of σn for f : I −→ R

“体”下的总体积F(X,和)那么是这些的极限总和1D切片的体积(定义 4.1)为Δ和→0. 也就是下的音量F(X,和)超过R是黎曼积分一种(和)在区间内C≤和≤d:
五=∫Cd一种(和)d和=∫Cd(∫一种bF(X,和)dX)d和
或者,切片平行于和-axis 而不是上面的会给出
五=∫一种b一种(X)dX=∫一种b(∫CdF(X,和)d和)dX
它必须为音量提供完全相同的值。
因此,对于矩形上的积分[一种,b]×[C,d]我们有重要的结果
$$
\underbrace{\iint_{R} f(x, y) \mathrm{d} A} {\text {}}=\underbrace{\int {a}^{b} \left(\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{c}^{d}\left(\int_{a }^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y}_{\text {迭代积分} f \text { over } R}
$$
左边side 是双积分的定义,而右侧的两个是计算双积分的实际方法。

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