微积分作业代写calclulus代考| Iterated integration in R3

微积分作业代写calclulus代考|  Iterated integration in R3

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|The domain D

Evaluate the integral $\iiint_{D} x y \mathrm{~d} V$, where $D$ is the interior of the sphere $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ in the first octant, $0 \leq x, y, z \leq 1$.

Solution: As sketched in Figure $4.23$, we will take horizontal slices, $z=$ a

constant, for $0 \leq z \leq 1$, and (for fun) integrate w.r.t. $x$ before we integrate w.r.t. $y$. The slices are $x^{2}+y^{2} \leq 1-z^{2}, x \geq 0, y \geq 0$, for a given $z$.
We need the bounds for the $x$-integration as functions of $y$.
These are $x=0, \sqrt{1-z^{2}-y^{2}}$.
The bounds for the $y$-integration are $0, \sqrt{1-z^{2}}$, and for the $z$-integration they are 0,1 . So we get
$$
\begin{aligned}
\iiint_{D} x y \mathrm{~d} V &=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}-y^{2}}} x y \mathrm{~d} x \
&=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}} y\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]{x=0}^{\sqrt{1-z^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} y \ &=\int{0}^{1} \mathrm{~d} z \int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}} \frac{1}{2} y\left(1-z^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} y \
&=-\int_{0}^{1} \frac{1}{8}\left[\left(1-z^{2}-y^{2}\right)^{2}\right]{y=0}^{\sqrt{1-z^{2}}} \mathrm{~d} z \ &=-\int{0}^{1} \frac{1}{8}\left(0-\left(1-z^{2}\right)^{2}\right) \mathrm{d} z=\frac{1}{15}
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考|Two intersecting cylinders.

Rewrite the iterated integral
$$
I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \int_{z}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x-z} f \mathrm{~d} y
$$
as an iterated integral with the outermost integration w.r.t. $x$ and innermost integration w.r.t. $z$.

Hint: Use the given limits to determine the 3D region of integration and then establish the limits of the new iterated integral.

Compute the volume of that part of the cylinder $x^{2}-2 x+y^{2}=0$ cut off by the cylinder $z^{2}-2 x=0$. The region defined by this intersection is shown in Figure 4.24. (See also Figure $1.34$ on Page 46.)

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微积分作业代写calclulus代考|The domain D

评估积分∭DX和 d五, 在哪里D是球体的内部X2+和2+和2=1在第一个八分圆中,0≤X,和,和≤1.

解决方法:如图4.23,我们将采取水平切片,和=一种

常数,对于0≤和≤1, 和(为了好玩)整合 wrtX在我们整合 wrt 之前和. 切片是X2+和2≤1−和2,X≥0,和≥0, 对于给定的和.
我们需要边界X- 积分作为函数和.
这些是X=0,1−和2−和2.
的界限和-整合是0,1−和2,并且对于和-积分它们是 0,1 。所以我们得到
∭DX和 d五=∫01 d和∫01−和2 d和∫01−和2−和2X和 dX =∫01 d和∫01−和2和[12X2]X=01−和2−和2 d和 =∫01 d和∫01−和212和(1−和2−和2)d和 =−∫0118[(1−和2−和2)2]和=01−和2 d和 =−∫0118(0−(1−和2)2)d和=115

微积分作业代写calclulus代考|Two intersecting cylinders.

重写迭代积分
一世=∫01 d和∫和1 dX∫0X−和F d和
作为与最外层积分 wrt 的迭代积分X和最里面的集成wrt和.

提示:使用给定的极限来确定积分的 3D 区域,然后建立新的迭代积分的极限。

计算圆柱体那部分的体积X2−2X+和2=0被气缸切断和2−2X=0. 该交点定义的区域如图 4.24 所示。(另见图1.34第 46 页。)

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