微积分作业代写calclulus代考| Limits and continuity

微积分作业代写calclulus代考|    Limits and continuity

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Limit laws

If $\lim {x \rightarrow a} f(\boldsymbol{x})=L, \quad \lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} g(\boldsymbol{x})=M$, then the following sum, product, quotient, convergence and composition results can be proved.
(a) $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a}(f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}))=L+M$ (b) $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a}(f(\boldsymbol{x}) . g(\boldsymbol{x}))=L \cdot M$
(c) $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} \frac{f(\boldsymbol{x})}{g(\boldsymbol{x})}=\frac{L}{M} \quad(M \neq 0)$ (d) $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} f(\boldsymbol{x})=\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} g(\boldsymbol{x})$ and $f(\boldsymbol{x}) \leq h(\boldsymbol{x}) \leq g(\boldsymbol{x})$ means that $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} h(\boldsymbol{x})$ exists and equals $L$ which equals $M$ (a “squeeze theorem”).
(e) If $F(t)$ is a continuous function at $t=L$ then
$$
\lim {x \rightarrow a} F(f(x))=F(L)=F\left(\lim {x \rightarrow a} f(x)\right)
$$
That is, for continuous functions, we may interchange the limit and function composition operations.

微积分作业代写calclulus代考|Example 2.4:

Consider $L=\lim {(x, y) \rightarrow(1, \pi)} \frac{\cos (x y)}{1-x-\cos y}=\lim {(x, y)} \frac{g(x, y)}{h(x, y)}$, noting in particular that $\lim {(x, y) \rightarrow(1, \pi)} h(x, y) \neq 0$. Applying the standard rules we find that $$ L=\frac{\lim \cos (x y)}{\lim (1-x-\cos y)}=\frac{-1}{+1}=-1 $$ Here, we have used the sum, product, quotient, and composition laws. In evaluating limits of any well-behaved $f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ for $n>2$, we follow the exact same process as implied in the above example: besides using the limit laws, the reader can also make use of results from the study of limits of functions of one variable, some of which are listed on Page 24. However, the simple statement made in the limit definition hides considerable detail that we need to confront in more complicated cases. Definition $2.2$ implicitly means that $* \lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} f(\boldsymbol{x})$ exists and is equal to $L$ if $f \longrightarrow L$ independently of how $\boldsymbol{x}$ approaches $\boldsymbol{a}$ !

  • The limit $L$, if it exists, is unique!
  • No limit of $f$ exists if $f$ has different limits when $\boldsymbol{x}$ approaches $\boldsymbol{a}$ along different curves!

The graphical depiction of Definition 2.2, in analogy with Figure $1.16$, is shown in Figure $2.4$ on the next page.

微积分作业代写calclulus代考| Limits and continuity

微积分作业代写calclulus代考|Limit laws

如果 $\lim {x \rightarrow a} f(\boldsymbol{x})=L,\quad \lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} g(\boldsymbol{x})=M,吨H和n吨H和F○一世一世○在一世nGs你米,pr○d你C吨,q你○吨一世和n吨,C○nv和rG和nC和一种ndC○米p○s一世吨一世○nr和s你一世吨sC一种nb和pr○v和d.(一种)\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a}(f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}))=L+M(b)\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a}(f(\boldsymbol{x}) . g(\boldsymbol{x}))=L \cdot M(C)\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} \frac{f(\boldsymbol{x})}{g(\boldsymbol{x})}=\frac{L}{M} \quad(M \neq 0 )(d)\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} f(\boldsymbol{x})=\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} g(\boldsymbol{x})一种ndf(\boldsymbol{x})\leq h(\boldsymbol{x})\leq g(\boldsymbol{x})米和一种ns吨H一种吨\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} h(\boldsymbol{x})和X一世s吨s一种nd和q你一种一世s一世在H一世CH和q你一种一世s米(一种“sq你和和和和吨H和○r和米”).(和)一世FF(t)一世s一种C○n吨一世n你○你sF你nC吨一世○n一种吨t=L吨H和n$
\lim {x \rightarrow a} F(f(x))=F(L)=F\left(\lim {x \rightarrow a} f(x)\right)
$$
也就是说,对于连续函数,我们可以互换限制和函数组合操作。

微积分作业代写calclulus代考|Example 2.4:

考虑 $L=\lim {(x, y) \rightarrow(1, \pi)} \frac{\cos (xy)}{1-x-\cos y}=\lim {(x, y)} \压裂{g(x, y)}{h(x, y)},n○吨一世nG一世np一种r吨一世C你一世一种r吨H一种吨\ lim {(x, y) \ rightarrow (1, \ pi)} h (x, y) \ neq 0.一种pp一世和一世nG吨H和s吨一种nd一种rdr你一世和s在和F一世nd吨H一种吨一世=林某物⁡(X和)林(1−X−某物⁡和)=−1+1=−1H和r和,在和H一种v和你s和d吨H和s你米,pr○d你C吨,q你○吨一世和n吨,一种ndC○米p○s一世吨一世○n一世一种在s.一世n和v一种一世你一种吨一世nG一世一世米一世吨s○F一种n和在和一世一世−b和H一种v和df: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}F○rn>2,在和F○一世一世○在吨H和和X一种C吨s一种米和pr○C和ss一种s一世米p一世一世和d一世n吨H和一种b○v和和X一种米p一世和:b和s一世d和s你s一世nG吨H和一世一世米一世吨一世一种在s,吨H和r和一种d和rC一种n一种一世s○米一种到和你s和○Fr和s你一世吨sFr○米吨H和s吨你d和○F一世一世米一世吨s○FF你nC吨一世○ns○F○n和v一种r一世一种b一世和,s○米和○F在H一世CH一种r和一世一世s吨和d○n磷一种G和24.H○在和v和r,吨H和s一世米p一世和s吨一种吨和米和n吨米一种d和一世n吨H和一世一世米一世吨d和F一世n一世吨一世○nH一世d和sC○ns一世d和r一种b一世和d和吨一种一世一世吨H一种吨在和n和和d吨○C○nFr○n吨一世n米○r和C○米p一世一世C一种吨和dC一种s和s.D和F一世n一世吨一世○n2.2一世米p一世一世C一世吨一世和米和一种ns吨H一种吨* \lim {\boldsymbol{x} \rightarrow a} f(\boldsymbol{x})和X一世s吨s一种nd一世s和q你一种一世吨○一世一世Ff \longrightarrow L一世nd和p和nd和n吨一世和○FH○在\boldsymbol{x}一种ppr○一种CH和s\ 粗体符号 {a} $!

  • 限制一世,如果存在,是唯一的!
  • 没有限制F如果存在F有不同的限制时X方法一种沿着不同的曲线!

定义 2.2 的图形描述,类似于图1.16, 如图2.4在下一页。

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