微积分作业代写calclulus代考| Line integrals

微积分作业代写calclulus代考| Line integrals

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Mathematical construction

The leading-order distance between nearest neighbour (in $t$ ) points on $\Gamma$ is $\left|\Delta \boldsymbol{r}{i}\right|=\left|\boldsymbol{r}\left(t{i}\right)-\boldsymbol{r}\left(t_{i-1}\right)\right|$ and adding all $n$ such line segment contributions gives
$$
\sigma_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left|\Delta \boldsymbol{r}{i}\right|=\sum{i=1}^{n}\left|\boldsymbol{r}\left(t_{i}\right)-\boldsymbol{r}\left(t_{i-1}\right)\right|
$$
as an approximation to the total length of $\Gamma$. Since the curve is smooth w.r.t. $t$, we can apply the mean value theorem to each component function of $\boldsymbol{r}$ to get
$$
\left|\Delta \boldsymbol{r}{i}\right|=\left|\boldsymbol{r}\left(t{i}\right)-\boldsymbol{r}\left(t_{i-1}\right)\right|=\left|\left(x^{\prime}\left(\zeta_{i}\right), y^{\prime}\left(\eta_{i}\right), z^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right)\right| \Delta t_{i}
$$
where $\left{\zeta_{i}, \eta_{i}, \xi_{i}\right}$ are some values of $t$, not necessarily the same, in the interval $\left(t_{i-1}, t_{i}\right)$. We then have
$$
\sigma_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x^{\prime}\left(\zeta_{i}\right), y^{\prime}\left(\eta_{i}\right), z^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right)\right| \Delta t_{i}
$$
Now taking the dual limit of an infinite number of partition intervals and of vanishing partition size we get the total length of $\Gamma$ :
$$
|\Gamma|=\lim {\substack{n \rightarrow \infty \ \max \left|\Delta t{i}\right| \rightarrow 0}} \sum_{i=1}^{n}\left|\Delta \boldsymbol{r}{i}\right|=\int{a}^{b}\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$

  • provided the limit exists, which it should. (Why?)
    We now extend the above argument to include a curve position-dependent function.

Let $f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}$ be a continuous scalar function defined on some domain in $\mathbb{R}^{3}$. When restricted to $\Gamma$ in that domain it becomes a composite function of one variable:
$$
f(x(t), y(t), z(t))=f(\boldsymbol{r}(t))
$$

微积分作业代写calclulus代考|Example 5.6

Determine the integral $\int_{\Gamma}(x y+y) \mathrm{d} s$ where $\Gamma$ is the path along the $2 \mathrm{D}$ curve $y=\sqrt{x}$ from the point $(4,2)$ to the point $(9,3) .$
Let $\boldsymbol{r}(x, y)$ define a point on $\Gamma$. We parameterize $\boldsymbol{r}=(x, y)$ as $(t, \sqrt{t})$, with $t: 4 \rightarrow 9$, and $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t}-\left(1, \frac{1}{2 \sqrt{t}}\right)$.
Then $\left|\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}\right|=\sqrt{1+\frac{1}{4 t}}$ and
$$
\begin{aligned}
\int_{\Gamma}(x y+y) \mathrm{d} s &=\int_{4}^{9}\left(t^{3 / 2}+t^{1 / 2}\right) \sqrt{1+\frac{1}{4 t}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int_{4}^{9}(t+1) \sqrt{4 t+1} \mathrm{~d} t \
&=\left[(t+1) \frac{1}{6}(4 t+1)^{3 / 2}\right]{4}^{9}-\int{4}^{9} \frac{1}{6}(4 t+1)^{3 / 2} \mathrm{~d} t \
&=\left[(t+1) \frac{1}{6}(4 t+1)^{3 / 2}-\frac{1}{60}(4 t+1)^{5 / 2}\right]{4}^{9} \ &=\left[\frac{1}{20}(2 t+3)(4 t+1)^{3 / 2}\right]{4}^{9}=\frac{1}{20}(777 \sqrt{37}-187 \sqrt{17})
\end{aligned}
$$

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微积分作业代写calclulus代考|Mathematical construction

最近邻之间的前导距离(在吨) 点Γ是|Δr一世|=|r(吨一世)−r(吨一世−1)|并添加所有n这样的线段贡献给出
σn=∑一世=1n|Δr一世|=∑一世=1n|r(吨一世)−r(吨一世−1)|
作为总长度的近似值Γ. 因为曲线是平滑的吨,我们可以将中值定理应用于r要得到
|Δr一世|=|r(吨一世)−r(吨一世−1)|=|(X′(G一世),和′(这一世),和′(X一世))|Δ吨一世
在哪里\left{\zeta_{i}, \eta_{i}, \xi_{i}\right}\left{\zeta_{i}, \eta_{i}, \xi_{i}\right}是一些值吨,不一定相同,在区间内(吨一世−1,吨一世). 然后我们有
σn=∑一世=1n|(X′(G一世),和′(这一世),和′(X一世))|Δ吨一世
现在考虑无限数量的分区间隔和消失的分区大小的双重限制,我们得到总长度Γ:
|Γ|=林n→∞ 最大限度|Δ吨一世|→0∑一世=1n|Δr一世|=∫一种b|r′(吨)|d吨

  • 只要存在限制,它就应该这样做。(为什么?)
    我们现在扩展上述论点以包括曲线位置相关函数。

让F:R3⟶R是在某个域上定义的连续标量函数R3. 当限制为Γ在该域中,它成为一个变量的复合函数:
F(X(吨),和(吨),和(吨))=F(r(吨))

微积分作业代写calclulus代考|Example 5.6

确定积分∫Γ(X和+和)ds在哪里Γ是沿着2D曲线和=X从点(4,2)切中要害(9,3).
让r(X,和)定义一个点Γ. 我们参数化r=(X,和)作为(吨,吨), 和吨:4→9, 和drd吨−(1,12吨).
然后|dr d吨|=1+14吨和
∫Γ(X和+和)ds=∫49(吨3/2+吨1/2)1+14吨 d吨=12∫49(吨+1)4吨+1 d吨 =[(吨+1)16(4吨+1)3/2]49−∫4916(4吨+1)3/2 d吨 =[(吨+1)16(4吨+1)3/2−160(4吨+1)5/2]49 =[120(2吨+3)(4吨+1)3/2]49=120(77737−18717)

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