微积分作业代写calclulus代考| Partial derivatives in equations

微积分作业代写calclulus代考| Partial derivatives in equations

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Summary of some relevant facts

  • Linearity
  • Adding any number of possible solutions leads to a new solution. Solutions $u_{1}(x, y), u_{2}(x, y)$, and constants $\alpha$ and $\beta$, can be combined to give a new solution: $\alpha u_{1}(x, y)+\beta u_{2}(x, y)$
  • The solutions are not unique, since any scalar multiple of a solution is also a solution.
  • To get uniqueness we impose additional conditions, which are used to specify the scalar multipliers needed. These conditions are classed as either initial conditions or boundary conditions.
  • Initial conditions
    Initial conditions are needed for the solution of time-dependent PDEs and inform how the solution begins. They are of the form:
  • “displácemenent”: $u(\cdot, t=0)=u_{0}(\cdot)$, with $u_{0}(\cdot)$ spéčifièd;
  • “velocity”: $u_{t}(\cdot, t=0)=v_{0}(\cdot)$, with $v_{0}(\cdot)$ specified;
    where the “.” indicates that other independent variables apply.
  • Boundary conditions
    Boundary conditions on the domain boundary $\partial D_{u}$ relate to spatialdependent PDEs.
    These are of three forms:
  • Dirichlet conditions $u\left(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}{b}, t\right)=U{b}\left(\boldsymbol{r}{b}, t\right)$, with $U{b}$ specified at $\boldsymbol{r}{b} \in \partial D{u} .$
  • Neumann conditions (Figure 3.12)
    Let $\boldsymbol{N}\left(\boldsymbol{r}{b}\right)$ be the outward normal to the boundary $\partial D{u}$. Then the Neumann condition fixes the normal component of the solution gradient $\boldsymbol{\nabla} u\left(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}{b}, t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left(\boldsymbol{r}{b}\right)=V_{b}$, with $V_{b}$ specified at $\boldsymbol{r}{b} \in \partial D{u}$.

微积分作业代写calclulus代考|Classic equations of mathematical physics

Heeding the last bullet point, we focus attention on three classic equations of mathematical physics: the Laplace equation (elliptic), the diffusion equation (parabolic) and the wave equation (hyperbolic). The applications in which they arise are mentioned in their respective sections below. Suffice to say that their solutions play central roles in describing a wide range of physical phenomena.

微积分作业代写calclulus代考| Partial derivatives in equations

微积分作业代写calclulus代考|Summary of some relevant facts

  • 线性度
  • 添加任意数量的可能解决方案会导致新的解决方案。解决方案你1(X,和),你2(X,和), 和常数一种和b, 可以结合起来给出一个新的解决方案:一种你1(X,和)+b你2(X,和)
  • 解不是唯一的,因为解的任何标量倍数也是解。
  • 为了获得唯一性,我们施加了额外的条件,用于指定所需的标量乘数。这些条件分为初始条件或边界条件。
  • 初始条件
    求解时间相关 PDE 需要初始条件,并告知解决方案如何开始。它们的形式为:
  • “置换器”:你(⋅,吨=0)=你0(⋅), 和你0(⋅)指定的;
  • “速度”:你吨(⋅,吨=0)=v0(⋅), 和v0(⋅)指定的;
    “。”在哪里 表示其他自变量适用。
  • 边界条件
    域边界上的边界条件∂D你与空间相关的偏微分方程有关。
    它们有三种形式:
  • 狄利克雷条件 $u\left(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r} {b}, t\right)=U {b}\left(\boldsymbol{r} {b}, t\right),在一世吨HU {b}sp和C一世F一世和d一种吨\boldsymbol{r} {b} \in \partial D {u} .$
  • 诺依曼条件(图 3.12)
    设 $\boldsymbol{N}\left(\boldsymbol{r} {b}\right)b和吨H和○你吨在一种rdn○r米一种一世吨○吨H和b○你nd一种r和\partial D {u}.吨H和n吨H和ñ和你米一种nnC○nd一世吨一世○nF一世X和s吨H和n○r米一种一世C○米p○n和n吨○F吨H和s○一世你吨一世○nGr一种d一世和n吨\boldsymbol{\nabla} u\left(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r} {b}, t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left(\boldsymbol{r} {b}\right) =V_{b},在一世吨HV_{b}sp和C一世F一世和d一种吨\boldsymbol{r} {b} \in \partial D {u}$。

微积分作业代写calclulus代考|Classic equations of mathematical physics

注意到最后一个要点,我们将注意力集中在数学物理的三个经典方程上:拉普拉斯方程(椭圆)、扩散方程(抛物线)和波动方程(双曲线)。它们出现的应用程序在下面的相应部分中提到。可以说,他们的解决方案在描述广泛的物理现象中起着核心作用。

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