微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 单变量微积分
- 多变量微积分
- 傅里叶级数
- 黎曼积分
- ODE
- 微分学
微积分作业代写calclulus代考|Section 2B.
- Are the following functions continuous at $(0,0) ?$
(a) $f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, f(0,0)=0$.
(b) $f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, f(0,0)=0$. - Establish whether the limits of the following functions exist at the given points, and if so determine their values.
(a) $f(x, y)=\frac{\tan (x y)}{x^{2}+y^{2}}$, at $(x, y)=(0,0)$.
(b) $f(x, y)=\frac{x^{2}-x}{y^{2}-y}$, at $(x, y)=(0,0)$.
(c) $f(x, y)=\frac{x^{4}+y \sin \left(x^{3}\right)}{x^{4}+y^{4}+x^{2} y^{2}}$, at $(x, y)=(0,0)$.
(d) $f(x, y)=\frac{x^{2} \sin y}{x^{2}+y^{2}}$, at $(x, y)=(0,0)$. - Use the limit definition to show that
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Differentiation
(a) $\lim {(x, y) \rightarrow(1,1)}\left(x+\frac{1}{y}\right)=2$. (b) $\lim {(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(x^{2}+2 y\right)=5$.
(c) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{\cos (2 x y)}{1+x^{2}+y^{2}}\right)=1$.
Repeat the limit calculation using the limit laws, where these are applicable.
微积分作业代写calclulus代考|Section 2.G
- Consider the functions $f: x \mapsto y=f(x)$, and $g: t \mapsto x=g(t)$. In each example that follows, find the domain $D_{F}$ of the composite function $F: t \mapsto y=(f \circ g)(t)$, and the derivative $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} t}$.
(a) $f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}, \quad g(t)=\sinh t$.
(Do this example in two ways: by finding the expression for $F(t)$ explicitly in terms of $t$, then differentiating; and by using the chain rule.)
(b) $f(x)=\arcsin x^{2}, \quad g(t)=3 \mathrm{e}^{-t}$. - Consider the functions $f: x \mapsto y=f(x)$, and $g:(s, t) \mapsto x=g(s, t)$. In each example that follows, find the domain $D_{F}$ of the composite function $F:(s, t) \mapsto y=(f \circ g)(s, t)$, and the derivatives $\frac{\partial F}{\partial s}, \frac{\partial F}{\partial t}$.
- (a) $f(x)=\ln x, \quad g(s, t)=s\left(1-t^{2}\right)$.
- (b) $f(x)=\arccos (x), \quad g(s, t)=\sqrt{s^{2}-t^{2}}$.
- Consider the function $z=f(x, y)=\mathrm{e}^{x^{2} y}+x y$, and the composite function $z=F(t)=f(\cos t, \sin t)$. Decide whether $F(t)$ makes sense, and if so, find its domain and compute $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} t}$.
- Consider the function $z=f(x, y)=\arcsin x y$, where $x=s-2 t$ and $y=\frac{s}{t^{2}}$.
- Check that the composite function $z=F(s, t)$ makes sense, and if so, find its domain and compute $\frac{\partial F}{\partial s}$ and $\frac{\partial F}{\partial t}$.
- By introducing new variables $u=x^{2}-y$ and $v=x+y^{2}$ transform the differential equation
- $$
- (1-2 y) \frac{\partial f}{\partial x}+(1+2 x) \frac{\partial f}{\partial y}=0
- $$
- Suppose $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ is a $C^{2}$ function of variables $(x, y)$. By introducing the change of variables $x-2 s+3 t$ and $y-4 s-4 t$ we define the $C^{2}$ function $F(s, t)$ from $f(x, y)$. Show that
- $$
- \frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}=9 \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}-24 \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}+16 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}
- $$
- Suppose $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ is a $C^{2}$ harmonic function of variables $(x, y)$. By introducing 2D polar conrdinates $x=r \cos \theta$ and $y=r \sin \theta$ show that. Laplace’s equation becomes
- $$
- \Delta F=\frac{\partial^{2} F}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial \theta^{2}}=0
- $$
- where $F(r, \theta)=f(r \cos \theta, r \sin \theta)$.
微积分作业代写calclulus代考|Section 2B.
- 以下函数是否连续(0,0)?
（一种）F(X,和)=X和X2+和2,F(0,0)=0.
(二)F(X,和)=X和X2+和2,F(0,0)=0. - 确定以下函数的极限是否存在于给定点，如果存在，则确定它们的值。
（一种）F(X,和)=tan(X和)X2+和2， 在(X,和)=(0,0).
(二)F(X,和)=X2−X和2−和， 在(X,和)=(0,0).
（C）F(X,和)=X4+和没有(X3)X4+和4+X2和2， 在(X,和)=(0,0).
(d)F(X,和)=X2没有和X2+和2， 在(X,和)=(0,0). - 使用极限定义来证明
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微分
(a) $\lim {(x, y) \rightarrow(1,1)}\left(x+\frac{1}{y}\right)=2.(b)\lim {(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(x^{2}+2 y\right)=5.(C)\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{\cos (2 xy)}{1+x^{2}+y^{2}}\right)=1美元。
在适用的情况下，使用极限定律重复极限计算。
微积分作业代写calclulus代考|Section 2.G
- 考虑函数F:X↦和=F(X)， 和G:吨↦X=G(吨). 在下面的每个示例中，找到域DF复合函数的F:吨↦和=(F∘G)(吨), 和导数dF d吨.
（一种）F(X)=X21+X2,G(吨)=出生吨.
（以两种方式做这个例子：通过找到表达式F(吨)明确地吨，然后微分；并使用链式法则。）
（b）F(X)=反正弦X2,G(吨)=3和−吨. - 考虑函数F:X↦和=F(X)， 和G:(s,吨)↦X=G(s,吨). 在下面的每个示例中，找到域DF复合函数的F:(s,吨)↦和=(F∘G)(s,吨), 和导数∂F∂s,∂F∂吨.
- （一种）F(X)=lnX,G(s,吨)=s(1−吨2).
- (二)F(X)=阿尔科斯(X),G(s,吨)=s2−吨2.
- 考虑函数和=F(X,和)=和X2和+X和, 和复合函数和=F(吨)=F(某物吨,没有吨). 决定是否F(吨)有意义，如果是，找到它的域并计算dF d吨.
- 考虑函数和=F(X,和)=反正弦X和， 在哪里X=s−2吨和和=s吨2.
- 检查复合函数和=F(s,吨)有意义，如果是，找到它的域并计算∂F∂s和∂F∂吨.
- 通过引入新变量你=X2−和和v=X+和2变换微分方程
- $$
- (1-2 y) \frac{\partial f}{\partial x}+(1+2 x) \frac{\partial f}{\partial y}=0
- $$
- 认为F:R2→R是一个C2变量函数(X,和). 通过引入变量的变化X−2s+3吨和和−4s−4吨我们定义C2功能F(s,吨)从F(X,和). 显示
- $$
- \frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}=9 \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}-24 \frac{\partial^ {2} f}{\partial y \partial x}+16 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}
- $$
- 认为F:R2→R是一个C2变量的调和函数(X,和). 通过引入二维极坐标X=r某物θ和和=r没有θ显示。拉普拉斯方程变为
- $$
- \Delta F=\frac{\partial^{2} F}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r}+\frac{1 }{r^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial \theta^{2}}=0
- $$
- 在哪里F(r,θ)=F(r某物θ,r没有θ).
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