微积分作业代写calclulus代考| Supplementary problems

微积分作业代写calclulus代考| Supplementary problems

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Section

  1. For smooth scalar functions $\psi$ and $\phi$, verify that
    $$
    \boldsymbol{\nabla} \times(\phi \boldsymbol{\nabla} \psi)=\boldsymbol{\nabla} \phi \times \boldsymbol{\nabla} \psi .
    $$
  2. For the $C^{1}$ fields $\boldsymbol{F}$ and $\boldsymbol{G}$, verify that
    $$
    \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{G})=(\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \boldsymbol{G}+(\boldsymbol{G} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \boldsymbol{F}+\boldsymbol{F} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{G})+\boldsymbol{G} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F}) .
    $$
  3. For the $C^{1}$ field $\boldsymbol{F}$, verify that
    $$
    \boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r})=\boldsymbol{F}-(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{F}) \boldsymbol{r}+\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{r})-\boldsymbol{r} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F}) .
    $$
  4. For the $C^{2}$ field $\boldsymbol{F}$, verify that
    $$
    \boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{F})-\boldsymbol{\nabla}^{2} \boldsymbol{F}
    $$
  5. Show that in 3D a field proportional to $\frac{r}{|r|^{3}}$ is conservative. Show also that this field is solenoidal.
  6. Show that the $2 \mathrm{D}$ electrostatic field $\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{2 \pi \epsilon_{0}|\boldsymbol{r}|^{2}} r$ (a field due to a uniformly charged wire of infinite length) is conservative.
  7. Derive and solve the equations for the field lines corresponding to the 3D véctor fièld $\frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|^{3}}, \boldsymbol{r} \neq \mathbf{0}$. Hencé, show that thésé corréspond to radial lines emanating from the origin.
  8. Suppose the $C^{1}$ vector field $\boldsymbol{F}$ satisfies $\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{F}=0$ in a domain $D \subset \mathbb{R}^{3}$. If
    $$
    \boldsymbol{G}(x, y, z)=\int_{0}^{1} t \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t)) \times \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \mathrm{~d} t
    $$with $\boldsymbol{r}(t)=(x t, y t, z t)$ for $t \in[0,1]$, show that $\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{G}=\boldsymbol{F}$. This shows that $G$ is a vector potential for the solenoidal field $\boldsymbol{F}$ for points $(x, y, z) \in D$.

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  1. Evaluate $\iint_{S}\left(2 x+y-3 z^{2}\right) \mathrm{d} S$, where $S$ is defined by $\boldsymbol{r}(u, v)=u \mathbf{i}+v \mathbf{j}+u \mathbf{k}, 0 \leq u, v \leq 1 .$
  2. Evaluate $\iint_{S}\left(6 x+y-x^{2}\right) \mathrm{d} S$, where $S$ is defined by $\boldsymbol{r}(u, v)=u \mathbf{i}+u^{2} \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leq u, v \leq 1 .$
  3. Let $S$ be the ellipsoid
    $$
    \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{x^{2}}{c^{2}}=1
    $$
    and $p(x, y, z)$ be the length of the perpendicular from the plane, that is tangent to $S$ at $(x, y, z) \in S$, to the origin. Show that the surface integral
    $$
    \iint_{S} \frac{\mathrm{d} S}{p}=\frac{4}{3} \pi a b c\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)
    $$
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  1. 对于平滑标量函数ψ和φ, 验证
    ∇×(φ∇ψ)=∇φ×∇ψ.
  2. 为了C1字段F和G, 验证
    ∇(F⋅G)=(F⋅∇)G+(G⋅∇)F+F×(∇×G)+G×(∇×F).
  3. 为了C1场地F, 验证
    ∇×(F×r)=F−(∇⋅F)r+∇(F⋅r)−r×(∇×F).
  4. 为了C2场地F, 验证
    ∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−∇2F
  5. 表明在 3D 中,一个场与r|r|3是保守的。还要证明这个场是螺线管的。
  6. 表明2D静电场和=ρ2圆周率ε0|r|2r(由于无限长的均匀带电导线产生的场)是保守的。
  7. 导出并求解对应于 3D 矢量场的场线方程r|r|3,r≠0. Hencé,表明这些对应于从原点发出的径向线。
  8. 假设C1向量场F满足∇⋅F=0在域中D⊂R3. 如果
    G(X,和,和)=∫01吨F(r(吨))×drd吨 d吨和r(吨)=(X吨,和吨,和吨)为了吨∈[0,1], 显示∇×G=F. 这表明G是螺线管场的矢量势F积分(X,和,和)∈D.

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  1. 评价∬小号(2X+和−3和2)d小号, 在哪里小号定义为r(你,v)=你一世+vj+你到,0≤你,v≤1.
  2. 评价∬小号(6X+和−X2)d小号, 在哪里小号定义为r(你,v)=你一世+你2j+v到,0≤你,v≤1.
  3. 让小号成为椭球体
    X2一种2+X2b2+X2C2=1
    和p(X,和,和)是与平面相切的垂线的长度小号在(X,和,和)∈小号,到原点。证明曲面积分
    ∬小号d小号p=43圆周率一种bC(1一种2+1b2+1C2)
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