# 微积分作业代写calclulus代考| Supplementary problems

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• 单变量微积分
• 多变量微积分
• 傅里叶级数
• 黎曼积分
• ODE
• 微分学

## 微积分作业代写calclulus代考|Section 1.A

1. Suppose three vectors $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ are such that $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}$. Show that $\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w}=\boldsymbol{w} \times \boldsymbol{u}$. With the aid of a diagram descrihe what this result means.
2. Let $\boldsymbol{x}{i}=\left(x{i}, y_{i}, z_{i}\right), i=0,1,2,3$ be four non-coplanar points in $\mathbb{R}^{3}$, and let vectors $\boldsymbol{u}{i}=\boldsymbol{x}{i}-\boldsymbol{x}{0}, i=1,2,3$, be edges of the tetrahedron formed by those points. Consider the four vectors $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d}$ with magnitudes in turn equal to twice the area of the four faces of the tetrahedron, and directions outwards and normal to those faces. Express these vectors in terms of the $\boldsymbol{u}{i}$ and hence show that $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}=\mathbf{0}$.
(In Figure $1.32$, regard the point $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ as being to the rear, without any loss of generality. Normal vectors $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{d}$ are shown.)
1. Let $\boldsymbol{u}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{v}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$, and $\boldsymbol{w}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ be vectors in 3-D space.
(a) Show that $\boldsymbol{u} \cdot(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w})=(\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{w}$. That is, show that in the scalar triple product the “dot” and the “cross” can change places.
(b) Show that $\boldsymbol{u} \times(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w})=(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{w}) \boldsymbol{v}-(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}) \boldsymbol{w}$

## 微积分作业代写calclulus代考|Section 1.B

1. Consider the three points $\boldsymbol{a}=(1,-1,2,2), \boldsymbol{b}=(3,1,-1,1)$, $c=(-2,0,2,-1)$ in $\mathbb{R}^{4}$.
(a) Find the distances $|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}|$, and $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|$.
(b) Do either of the points $\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{c}$ lie inside the open sphere $S_{3 \sqrt{2}}(\boldsymbol{a}) ?$
(c) Find the angle $\theta$ between $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}$.
2. In $\mathbb{R}^{n}$, for what values of $k$ is $\boldsymbol{b}=(k, k, k, \ldots)$ inside $S_{r}(\boldsymbol{a})$ when $\boldsymbol{a}=(1,1,1, \ldots)$ ?
3. Sketch the following regions and determine their boundaries. Also establish whether the regions are open or closed or neither.
(a) ${(x, y):|x|+|y|<1}$.
(b) ${(x, y): \max (|x|,|y|)<1}$.
(c) $\left{(x, y): x^{2} \leq y \leq \sqrt{x}\right}$.
(d) $\left{(x, y): 1<(x-1)^{2}+(y+1)^{2} \leq 2\right}$.
(e) ${(x, y):|x+3 y| \leq 3}$.
4. Prove the following statements about sets:
(a) The boundary of a set $M$ is a closed set.
(b) A set $M$ is closed $\Longleftrightarrow M=\bar{M}$.
(c) A set $M$ is open $\Longleftrightarrow M=\operatorname{Int}(M)$.
(d) A set $M$ is closed $\Longleftrightarrow$ its complement $M^{c}$ is open.
(e) The union of any number of open sets is open, and any finite intersection of open sets is open.
(f) The intersection of any number of closed sets is closed, and any finite union of closed sets is closed.
5. If $\boldsymbol{x}=(x, y, z)$ and $|\boldsymbol{x}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, show that
$$\max (|x|,|y|,|z|) \leq|x| \leq|x|+|y|+|z| \leq \sqrt{3}|x| \leq 3 \max (|x|,|y|,|z|)$$

## 微积分作业代写calclulus代考|Section 1.A

1. 假设三个向量你,v,在是这样的你+v+在=0. 显示你×v=v×在=在×你. 借助图表描述此结果的含义。
2. 令 $\boldsymbol{x} {i}=\left(x {i}, y_{i}, z_{i}\right), i=0,1,2,3b和F○你rn○n−C○p一世一种n一种rp○一世n吨s一世n\mathbb{R}^{3},一种nd一世和吨v和C吨○rs\boldsymbol{u} {i}=\boldsymbol{x} {i}-\boldsymbol{x} {0}, i=1,2,3,b和和dG和s○F吨H和吨和吨r一种H和dr○nF○r米和db和吨H○s和p○一世n吨s.C○ns一世d和r吨H和F○你rv和C吨○rs\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d}在一世吨H米一种Gn一世吨你d和s一世n吨你rn和q你一种一世吨○吨在一世C和吨H和一种r和一种○F吨H和F○你rF一种C和s○F吨H和吨和吨r一种H和dr○n,一种ndd一世r和C吨一世○ns○你吨在一种rds一种ndn○r米一种一世吨○吨H○s和F一种C和s.和Xpr和ss吨H和s和v和C吨○rs一世n吨和r米s○F吨H和\boldsymbol{u} {i}一种ndH和nC和sH○在吨H一种吨\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}=\mathbf{0}.(一世nF一世G你r和1.32,r和G一种rd吨H和p○一世n吨\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)一种sb和一世nG吨○吨H和r和一种r,在一世吨H○你吨一种n和一世○ss○FG和n和r一种一世一世吨和.ñ○r米一种一世v和C吨○rs\ 粗体符号 {a}一种nd\boldsymbol{d}$ 已显示。）
1. 让你=(一种1,一种2,一种3),v=(b1,b2,b3)， 和在=(C1,C2,C3)是 3-D 空间中的向量。
(a) 证明你⋅(v×在)=(你×v)⋅在. 也就是说，表明在标量三重乘积中，“点”和“十字”可以改变位置。
(b) 证明你×(v×在)=(你⋅在)v−(你⋅v)在

## 微积分作业代写calclulus代考|Section 1.B

1. 考虑三点一种=(1,−1,2,2),b=(3,1,−1,1),C=(−2,0,2,−1)在R4.
(a) 找出距离|b−一种|,|C−b|， 和|一种−C|.
(b) 做任何一点b和C躺在开放的球体内小号32(一种)?
(c) 求角度θ之间b−一种和C−一种.
2. 在Rn，对于什么值到是b=(到,到,到,…)里面小号r(一种)什么时候一种=(1,1,1,…)?
3. 画出以下区域并确定它们的边界。还要确定这些区域是开放的还是封闭的，或者两者都不开放。
（一种）(X,和):|X|+|和|<1.
(二)(X,和):最大限度(|X|,|和|)<1.
（C）\left{(x, y): x^{2} \leq y \leq \sqrt{x}\right}\left{(x, y): x^{2} \leq y \leq \sqrt{x}\right}.
(d)\left{(x, y): 1<(x-1)^{2}+(y+1)^{2} \leq 2\right}\left{(x, y): 1<(x-1)^{2}+(y+1)^{2} \leq 2\right}.
（和）(X,和):|X+3和|≤3.
4. 证明以下关于集合的陈述：
(a) 集合的边界米是闭集。
(b) 一套米已经关闭⟺米=米¯.
(c) 一套米开了⟺米=诠释⁡(米).
(d) 一套米已经关闭⟺它的补充米C开了。
(e) 任意数量的开集的并集是开集的，并且开集的任意有限交集是开集的。
(f) 任意数量的封闭集的交集是封闭的，并且封闭集的任何有限并集是封闭的。
5. 如果X=(X,和,和)和|X|=X2+和2+和2， 显示
最大限度(|X|,|和|,|和|)≤|X|≤|X|+|和|+|和|≤3|X|≤3最大限度(|X|,|和|,|和|)