微积分作业代写calclulus代考| Surface integrals

微积分作业代写calclulus代考| Surface integrals

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Continuously turning normal N(r).

  • If the surface $S$ is defined by a level set equation (Section $1 . F$ ), that is, if
    $$
    S={(x, y, z): \phi(x, y, z)=C}
    $$
    then
    $$
    \boldsymbol{N}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \phi}{|\boldsymbol{\nabla} \phi|}
    $$
  • If the surface $S$ is defined parametrically as $S={\boldsymbol{r}(u, v):(u, v) \in D}$, then
    $$
    \boldsymbol{N}=\frac{\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\right|} .
    $$
  • $u$ and $v$ can be Cartesian coordinates
    In this case, recalling the formula for $\mathrm{d} S$ on Page 263 and inserting both expressions in the flux definition:
    $$
    \iint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{N d} S=\iint_{D} \boldsymbol{f} \cdot \underbrace{\frac{\left(\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right)}{\left|\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right|}}{\boldsymbol{N}}\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v $$ we arrive at the conveniently simpler double integral form, $$ \iint{S} \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{N d} S=\iint_{D} \boldsymbol{f} \cdot\left(\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v
    $$

微积分作业代写calclulus代考|Surface integrals

Determine the flux of the vector field $f=(x, y, 2 z)$ through the surface $S$, defined by $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Note that this surface shown in Figure $5.38$ is a closed surface. Hence, we assume the usual convention of taking the outward-pointing normal.
We divide the surface into the upper hemisphere,
$$
S_{+}=\left{(x, y, z): z=g(x, y), 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right}
$$
with an upward pointing normal, and the lower hemisphere,
$$
S_{-}=\left{(x, y, z): z=-g(x, y), 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right}
$$
with a downward pointing normal.
Here, $g(x, y)=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$.
The flux integral over the closed sphere can then be written as the sum of two flux integrals:
$$
\iint_{S} f \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_{S_{+}} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}+\iint_{S_{-}} f \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}
$$
With the Cartesian variables $x$ and $y$ as parameters, both $S_{+}$and $S_{-}$are defined through a one-to-one relationship with points in the planar domain $D=\left{(x, y): 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right} .$
Hence, the flux integral through $S$ can be rewritten (see Equation (5.2)) as
$$
\begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{f} \cdot d \boldsymbol{S}=& \iint_{D} \boldsymbol{f}(x, y, g(x, y)) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}{+}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}{+}}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \
&+\iint_{D} \boldsymbol{f}(x, y,-g(x, y)) \cdot\left(-\frac{\partial \boldsymbol{r}{-}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}{-}}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

where $r_{\pm}=(x, y, \pm g(x, y))$, and a minus sign is introduced in the second flux integral to provide the correct surface normal direction.
Now, $\frac{\partial \boldsymbol{r}{\pm}}{\partial x}=\left(1,0, \pm \frac{\partial g}{\partial x}\right)$ and $\frac{\partial \boldsymbol{r}{\pm}}{\partial y}=\left(0,1, \pm \frac{\partial g}{\partial y}\right)$.
Thus,
$$
\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}{\pm}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}{\pm}}{\partial y}\right)=\left(\mp \frac{\partial g}{\partial x}, \mp \frac{\partial g}{\partial y}, 1\right)
$$
where $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{2}\left(a^{2}-x^{2}-y^{2}\right)^{-1 / 2} \cdot(-2 x)=\frac{-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}=\frac{-x}{g(x, y)}$, etc.
This gives the two normal vectors
$$
\pm\left(\frac{\partial r_{\pm}}{\partial x} \times \frac{\partial r_{\pm}}{\partial y}\right)=\left(\frac{x}{g}, \frac{y}{g}, \pm 1\right)
$$
and so
$$
\begin{aligned}
&\int_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_{\Pi}(x, y, 2 g) \cdot\left(\frac{x}{g}, \frac{y}{g}, 1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \
&+\iint_{D}(x, y,-2 g) \cdot\left(\frac{x}{g}, \frac{y}{g},-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \
&-2 \iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{g}+\frac{y^{2}}{g}+2 g\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-2 \iint_{D}\left(\frac{x^{2}+y^{2}+2 g^{2}}{g}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \
&=2 \iint_{D}\left(\frac{2 a^{2}-x^{2}-y^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$
Since $D$ is a disc we can use polar coordinates:
$$
\begin{aligned}
&x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} \
&\oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{a}\left(\frac{2 a^{2}-r^{2}}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\right) r \mathrm{~d} r \
&=4 \pi\left{a^{2} \int_{0}^{a} \frac{r \mathrm{~d} r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}+\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-r^{2}} r \mathrm{~d} r\right}
\end{aligned}
$$
The final integrals can be evaluated easily using the substitution $u=a^{\overline{3}}-r^{\overline{3}} \Longrightarrow \mathrm{d} u=-2 r \mathrm{~d} r$ :
$$
\begin{aligned}
\oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} &=4 \pi\left{a^{2}\left[-\frac{1}{2} u^{1 / 2} \cdot 2\right]{a^{2}}^{0}+\left[-\frac{1}{2} u^{3 / 2} \cdot \frac{2}{3}\right]{a^{2}}^{0}\right} \
&=4 \pi\left{a^{2} \cdot a+a^{3} \frac{1}{3}\right}=\frac{16}{3} \pi a^{3} .
\end{aligned}
$$

微积分作业代写calclulus代考| Surface integrals

微积分作业代写calclulus代考|Continuously turning normal N(r).

  • 如果表面小号由水平集方程定义(第1.F),也就是说,如果
    小号=(X,和,和):φ(X,和,和)=C
    然后
    ñ=∇φ|∇φ|
  • 如果表面小号参数化定义为小号=r(你,v):(你,v)∈D, 然后
    ñ=∂r∂你×∂r∂v|∂r∂你×∂r∂v|.
  • 你和v可以是笛卡尔坐标
    在这种情况下,回忆一下公式d小号在第 263 页上并在通量定义中插入两个表达式:
    ∬小号F⋅ñd小号=∬DF⋅(∂r∂你×∂r∂v)|∂r∂你×∂r∂v|⏟ñ|∂r∂你×∂r∂v|d你 dv我们得到了更简单的双积分形式,∬小号F⋅ñd小号=∬DF⋅(∂r∂你×∂r∂v)d你 dv

微积分作业代写calclulus代考|Surface integrals

确定矢量场的通量F=(X,和,2和)通过表面小号, 被定义为X2+和2+和2=一种2.

注意这个表面如图5.38是一个封闭曲面。因此,我们假定采用向外法线的通常惯例。
我们把表面分成上半球,
S_{+}=\left{(x, y, z): z=g(x, y), 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right}S_{+}=\left{(x, y, z): z=g(x, y), 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right}
法线向上,下半球,
S_{-}=\left{(x, y, z): z=-g(x, y), 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right}S_{-}=\left{(x, y, z): z=-g(x, y), 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right}
向下指向正常。
这里,G(X,和)=一种2−X2−和2.
闭合球面上的通量积分可以写成两个通量积分之和:
∬小号F⋅d小号=∬小号+F⋅d小号+∬小号−F⋅d小号
使用笛卡尔变量X和和作为参数,两者小号+和小号−通过与平面域中的点的一对一关系定义D=\left{(x, y): 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right} 。D=\left{(x, y): 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right} 。
因此,通量积分通过小号可以重写(见方程(5.2))为
∫小号F⋅d小号=∬DF(X,和,G(X,和))⋅(∂r+∂X×∂r+∂和)dX d和 +∬DF(X,和,−G(X,和))⋅(−∂r−∂X×∂r−∂和)dX d和

在哪里r±=(X,和,±G(X,和)),并且在第二个通量积分中引入了一个负号,以提供正确的表面法线方向。
现在,∂r±∂X=(1,0,±∂G∂X)和∂r±∂和=(0,1,±∂G∂和).
因此,
(∂r±∂X×∂r±∂和)=(∓∂G∂X,∓∂G∂和,1)
在哪里∂G∂X=12(一种2−X2−和2)−1/2⋅(−2X)=−X一种2−X2−和2=−XG(X,和)等。
这给出了两个法线向量
±(∂r±∂X×∂r±∂和)=(XG,和G,±1)
所以
∫小号F⋅d小号=∬圆周率(X,和,2G)⋅(XG,和G,1)dX d和 +∬D(X,和,−2G)⋅(XG,和G,−1)dX d和 −2∬D(X2G+和2G+2G)dX d和−2∬D(X2+和2+2G2G)dX d和 =2∬D(2一种2−X2−和2一种2−X2−和2)dX d和
自从D是一张我们可以使用极坐标的圆盘:
\begin{对齐} &x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \ θ, x^{2}+y^{2}=r^{2} \ &\oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=2 \int_{0} ^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{a}\left(\frac{2 a^{2}-r^{2}}{\sqrt{a^{2} -r^{2}}}\right) r \mathrm{~d} r \ &=4 \pi\left{a^{2} \int_{0}^{a} \frac{r \mathrm{~ d} r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}+\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-r^{2}} r \mathrm{ ~d} r\right} \end{对齐}\begin{对齐} &x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \ θ, x^{2}+y^{2}=r^{2} \ &\oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=2 \int_{0} ^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{a}\left(\frac{2 a^{2}-r^{2}}{\sqrt{a^{2} -r^{2}}}\right) r \mathrm{~d} r \ &=4 \pi\left{a^{2} \int_{0}^{a} \frac{r \mathrm{~ d} r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}+\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-r^{2}} r \mathrm{ ~d} r\right} \end{对齐}
最终的积分可以很容易地使用替换来评估你=一种3¯−r3¯⟹d你=−2r dr:
\begin{aligned} \oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} &=4 \pi\left{a^{2}\left[-\frac{1}{ 2} u^{1 / 2} \cdot 2\right]{a^{2}}^{0}+\left[-\frac{1}{2} u^{3 / 2} \cdot \frac {2}{3}\right]{a^{2}}^{0}\right} \ &=4 \pi\left{a^{2} \cdot a+a^{3} \frac{1 }{3}\right}=\frac{16}{3} \pi a^{3} 。\end{对齐}\begin{aligned} \oiint_{S} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} &=4 \pi\left{a^{2}\left[-\frac{1}{ 2} u^{1 / 2} \cdot 2\right]{a^{2}}^{0}+\left[-\frac{1}{2} u^{3 / 2} \cdot \frac {2}{3}\right]{a^{2}}^{0}\right} \ &=4 \pi\left{a^{2} \cdot a+a^{3} \frac{1 }{3}\right}=\frac{16}{3} \pi a^{3} 。\end{对齐}

微积分作业代写calclulus代考| Surface integrals
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