# 微积分作业代写calclulus代考| Taylor’s formula and Taylor series

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• 单变量微积分
• 多变量微积分
• 傅里叶级数
• 黎曼积分
• ODE
• 微分学

## 微积分作业代写calclulus代考|Specific cases to note

• The existence of a linear approximation means there is a tangent line to $F(t)$ at $t=t_{0}$.
• A quadratic approximation is useful for critical-point analysis when $F^{\prime}\left(t_{0}\right)=0$, meaning that
• A cubic approximation means that there is a cubic curve osculating $F(t)$ at $x=t_{0}$.
(What is that?)
• A quartic approximation may be useful in the uncommon cases when $F^{\prime}\left(t_{0}\right)=F^{\prime \prime}\left(t_{0}\right)=F^{\prime \prime \prime}(t)=0$, meaning that

## 微积分作业代写calclulus代考|Alternative derivation

Substitution will give (2.7) again.
We end this section with two Mastery Check exercises involving Taylor polynomials, postponing until the next chapter a demonstration of the usefulness of Taylor approximations. However, it is appropriate first to make a few important comments.
(1) With the trivial step of setting $x_{0}=y_{0}=0$ we get the $2 \mathrm{D}$ version of a Maclaurin polynomial approximation of order $n$.
(2) As in the single-variable case, if our multivariable function has partial derivatives of all orders, then the Taylor polynomial approximations of our $f(x, y)$ can be developed into a series representation – provided it converges, of course.
(3) In Section $2 . H$ we dealt with implicit functions and showed how one can calculate first derivatives of such functions even though the functions themselves could not be expressed explicitly. Now, with assistance from the Taylor and Maclaurin expansions, one can construct explicit polynomial or even full series representations of implicit functions by successively differentiating these first-order derivatives (with the help of the chain rule – Section 2.G). Our second Mastery Check exercise explores this possibility.

## 微积分作业代写calclulus代考|Specific cases to note

• 线性近似的存在意味着有一条切线F(吨)在吨=吨0.
• 二次近似对于临界点分析很有用F′(吨0)=0， 意思是
• 三次近似意味着存在密切相关的三次曲线F(吨)在X=吨0.
（那是什么？）
• 四次近似可能在不常见的情况下有用F′(吨0)=F′′(吨0)=F′′′(吨)=0， 意思是

## 微积分作业代写calclulus代考|Alternative derivation

(1) 简单的设置步骤X0=和0=0我们得到2D阶的 Maclaurin 多项式近似的版本n.
(2) 与单变量情况一样，如果我们的多变量函数具有所有阶的偏导数，那么我们的泰勒多项式逼近F(X,和)可以开发成一个系列表示——当然，前提是它会收敛。
(3) 在部分2.H我们处理了隐式函数，并展示了如何计算这些函数的一阶导数，即使函数本身不能明确表达。现在，在 Taylor 和 Maclaurin 展开的帮助下，人们可以通过连续微分这些一阶导数来构造隐式函数的显式多项式甚至全级数表示（借助链式法则——第 2.G 节）。我们的第二个掌握检查练习探索了这种可能性。