微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 微分学
微积分作业代写calclulus代考|Example 2.1:
Figure 2.1 A function not everywhere differentiable.
For the function shown in Figure 2.1, (i) and (ii) are satisfied everywhere. At $x=0$, however, although the left and right limits of (iii) exist, they are not equal, implying that no derivative exists there. Everywhere else (iii) is satisfied.
微积分作业代写calclulus代考|Example 2.2:
Figure 2.2 Another function not everywhere differentiable.
For the function shown in Figure $2.2$, the only problem appears at $x=0$. Conditions (i) and (ii) are satisfied, but in the case of condition (iii) we have that
$$
\begin{aligned}
&\lim {h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim {h \rightarrow 0^{-}} \frac{(1-h)-1}{h}=-1 \
&\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{\left(1+h^{3 / 2}\right)-1}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} h^{1 / 2}=0
\end{aligned}
$$
That is, the left limit is not equal to the right limit, implying that no derivative exists there.
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Differentiation
Point (ii) is the definition of continuity at $x_{0}$ (Section 1.C). A function for which any of the equalities is not satisfied is said to be discontinuous at $x_{0}$. What we are now saying is that continuity is a necessary but not a sufficient condition for differentiability. Functions for which (iii) is not satisfied at any point, $x_{0}$, such as those of the foregoing examples, are said to be singular at that point.
Now let us apply what we have learnt for a function of one variable to the case of a function of two variables. The most obvious analogous expression of a limit generalized to some function $f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$ of two variables is:
$$
\lim {P{1} \rightarrow P_{0}} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}\right)}{\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}} .
$$
If this limit exists, should we call it “the” derivative of $f$ ? Alongside this question we also need to ask what are the generalizations of criteria (i)-(iii) to $\mathbb{R}^{2}$ (or $\left.\mathbb{R}^{3}, \ldots, \mathbb{R}^{n}\right)$ ?
The graphical foundation for the limit expression (2.1) is shown in Figure 2.3. The things to note are, firstly, the graph of $f$ is suspended in 3D; secondly, the domain $D_{f}$ lies in the $x y$-plane; thirdly, the points $P_{0}$ and $P_{1}$ in $D_{f}$ give rise to values $z_{0}$ and $z_{1}$, respectively; and finally, the line in the domain joining $P_{0}$ and $P_{1}$ traces out the black curve in the graph of $f$.
微积分作业代写calclulus代考|Example 2.1:
图 2.1 并非处处可微的函数。
对于图 2.1 所示的函数，(i) 和 (ii) 处处满足。在X=0，然而，虽然 (iii) 的左右极限存在，但它们并不相等，这意味着那里不存在导数。其他任何地方 (iii) 都满足。
微积分作业代写calclulus代考|Example 2.2:
图 2.2 不是处处可微的另一个函数。
对于如图所示的功能2.2，唯一的问题出现在X=0. 条件 (i) 和 (ii) 得到满足，但在条件 (iii) 的情况下，我们有
$$
\begin{aligned}
&\lim {h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(0+ h)-f(0)}{h}=\lim {h \rightarrow 0^{-}} \frac{(1-h)-1}{h}=-1 \
&\lim {h \rightarrow 0 ^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{\left(1+h^{3 / 2 }\right)-1}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} h^{1 / 2}=0
\end{aligned}
$$
即左限不等于右极限，意味着那里不存在导数。
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微分
点 (ii) 是连续性的定义X0（第 1.C 节）。不满足任何等式的函数称为不连续的X0. 我们现在要说的是，连续性是可微性的必要条件，但不是充分条件。(iii) 在任何时候都不满足的功能，X0，例如前述示例中的那些，在这一点上被认为是单数的。
现在让我们将我们对一个变量的函数所学的知识应用到两个变量的函数的情况。泛化到某个函数的极限最明显的类似表达式F:R2⟶R两个变量是：
$$
\lim {P {1} \rightarrow P_{0}} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}\right)}{\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2 }}} 。
$$
如果这个限制存在，我们是否应该称其为F? 除了这个问题，我们还需要问标准 (i)-(iii) 的概括是什么R2（要么R3,…,Rn)?
极限表达式 (2.1) 的图形基础如图 2.3 所示。需要注意的是，首先，图表F以 3D 形式暂停；其次，域DF在于X和-飞机; 第三，要点磷0和磷1在DF产生价值观和0和和1， 分别; 最后，加入域中的行磷0和磷1描绘出图中的黑色曲线F.
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