微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|An important theorem and some corollaries — 3D version.ingle integrals
Theorem 4.1 All continuous functions are integrable over compact subsets of their domains.
Corollary 4.1.1 If $f \geq 0$, then
$\iiint_{B} f \mathrm{~d} V$ is the “volume” of a 4-dimensional “solid” “under” $f$ “over” $B$.
- not a very helpful interpretation.
Corollary 4.1.2
If $f \geq 0$ is a mass charge $}$ density, then $\iiint_{B} f \mathrm{~d} V=\left{\begin{array}{l}\text { total mass } \ \text { total charge }\end{array}\right.$. - a more helpful interpretation.
Corollary 4.1.3 If $f=1$, then $\iiint_{B} 1 \mathrm{~d} V=$ volume of solid $B$. - even more useful, especially for more general regions.
Corollary 4.1.4 Average of $f(x, y, z)$ over $B=\frac{\iiint_{B} f \mathrm{~d} V}{\iiint_{B} 1 \mathrm{~d} V}=\frac{\iiint_{B} f \mathrm{~d} V}{\text { vol. } B} .$ $-$ this is true even for more complex regions.
Corollary 4.1.5 Linearity: If $a, b \in \mathbb{R}$ then
$$
\iiint_{B}(a f+b g) \mathrm{d} V=a \iiint_{B} f \mathrm{~d} V+b \iiint_{B} g \mathrm{~d} V
$$
Corollary 4.1.6 Additivity: (very important)
If $B_{1} \cap B_{2}={} \equiv \emptyset$, then
$$
\iiint_{B_{1} \cup B_{2}} f \mathrm{~d} V=\iiint_{B_{1}} f \mathrm{~d} V+\iiint_{B_{2}} f \mathrm{~d} V
$$
As for the actual calculation of triple integrals the next section extends the ideas outlined in Section 4.C.
微积分作业代写calclulus代考|Box domain B in R3
The definition of a triple integral follows in analogy with those of double and single integrals. We just outline the relevant steps leading to the definition.
- Partition $B$ into small rectangular blocks $B_{i j k}$ of volumes $\Delta V_{i j k}=\Delta x_{i} \Delta y_{j} \Delta z_{k}$
- If $f \geq 0$ for all $\boldsymbol{x} \in B$, then we interpret the quantity $f$ as a density so that in choosing $\left(\xi_{i}, \eta_{j}, \zeta_{k}\right) \in B_{i j k}, f\left(\xi_{i}, \eta_{j}, \zeta_{k}\right) \Delta V_{i j k}$ will be an approximation to the mass of block $B_{i j k}$.
- The Riemann sum of all such masses in the partition,
$$
\sigma_{n m l}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{\ell} f\left(\xi_{i}, \eta_{j}, \zeta_{k}\right) \Delta V_{i j k}
$$
is an approximation to the total mass of the entire $B$. - We then take the combined limits of the number of boxes to infinity with vanishing volumes. We therefore arrive at
For regions of more general shape, starting with bounded regions, $S$, we can extend the definition of the integral of $f$ over $S \subset \mathbb{R}^{3}$ in analogy with the $2 \mathrm{D}$ version:
- we enclose $S$ in a closed and bounded box $B: S \subset B \subset \mathbb{R}^{3}$, and
- define $\hat{f}(x, y, z)=\left{\begin{aligned} f(x, y, z), & x \in S \ 0, & x \notin S \end{aligned}\right.$
we then have
$$
\iiint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} V \equiv \iiint_{B} \hat{f}(x, y, z) \mathrm{d} V
$$
This now sets the stage for Section 4.G where the practical evaluation of triple integrals over general regions is discussed. In the meantime we have, as in the 1D and 2D cases, the following useful theorem and its corollaries.
微积分作业代写calclulus代考|An important theorem and some corollaries — 3D version.ingle integrals
定理 4.1 所有连续函数都可在其域的紧凑子集上积。
推论 4.1.1 如果F≥0， 然后
∭乙F d五是 4 维“实体”“下”的“体积”F“超过”乙.
- 不是很有帮助的解释。
推论 4.1.2
如果F≥0是一个质量电荷}}密度，然后 $\iiint_{B} f \mathrm{~d} V=\left{ 总质量 总费用 \对。$。 - 更有用的解释。
推论 4.1.3 如果F=1， 然后∭乙1 d五=固体体积乙. - 甚至更有用，尤其是对于更一般的区域。
推论 4.1.4 平均F(X,和,和)超过乙=∭乙F d五∭乙1 d五=∭乙F d五 卷。 乙. −即使对于更复杂的区域也是如此。
推论 4.1.5 线性：如果一种,b∈R然后
∭乙(一种F+bG)d五=一种∭乙F d五+b∭乙G d五
推论 4.1.6 可加性：（非常重要）
如果乙1∩乙2=≡∅， 然后
∭乙1∪乙2F d五=∭乙1F d五+∭乙2F d五
至于三重积分的实际计算，下一节扩展了第 4.C 节中概述的想法。
微积分作业代写calclulus代考|Box domain B in R3
三重积分的定义类似于双积分和单积分的定义。我们只是概述了导致定义的相关步骤。
- 划分乙成小矩形块乙一世j到卷Δ五一世j到=ΔX一世Δ和jΔ和到
- 如果F≥0对所有人X∈乙，然后我们解释数量F作为密度，因此在选择(X一世,这j,G到)∈乙一世j到,F(X一世,这j,G到)Δ五一世j到将是块质量的近似值乙一世j到.
- 分区中所有此类质量的黎曼和，
σn米一世=∑一世=1n∑j=1米∑到=1ℓF(X一世,这j,G到)Δ五一世j到
是整个总质量的近似值乙. - 然后，我们将盒子数量的组合限制设为无穷大，同时体积消失。因此我们到达
对于更一般形状的区域，从有界区域开始，小号，我们可以扩展积分的定义F超过小号⊂R3与2D版本：
- 我们附上小号在一个封闭的有界盒子里乙:小号⊂乙⊂R3， 和
- 定义 $\hat{f}(x, y, z)=\left{F(X,和,和),X∈小号 0,X∉小号\正确的。在和吨H和nH一种v和∭小号F(X,和,和)d五≡∭乙F^(X,和,和)d五$
现在这为第 4.G 节奠定了基础，其中讨论了一般区域上三重积分的实际评估。与此同时，与 1D 和 2D 情况一样，我们有以下有用的定理及其推论。
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