微积分作业代写calclulus代考| Vector fields

微积分作业代写calclulus代考| Vector fields

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Conservative fields

Although scalar potentials and conservative fields arise in many areas of physics, it is far from true that all vector fields are conservative. That is, it is not generally true that all vector fields can be derived from scalar fields. In the next section we will discover an important and appealing mathematical property of conservative fields. For the moment we focus on the questions of establishing whether a vector field is conservative and if so what its scalar potential is.

To answer these questions we look at the properties of the scalar potential itself. Firstly, we see that for it to be a scalar potential, $\phi: D \longrightarrow \mathbb{R}$ must be at least $C^{1}$. Consequently, being a $C^{1}$ function, the differential of $\phi$ can be derived:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \phi &=\frac{\partial \phi}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial \phi}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial \phi}{\partial z} \mathrm{~d} z \
&=f_{1} \mathrm{~d} x+f_{2} \mathrm{~d} y+f_{3} \mathrm{~d} z
\end{aligned}
$$
The replacement of $\boldsymbol{\nabla} \phi$ with $\boldsymbol{f}$ in the last equation is valid since $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{\nabla} \phi$ by assumption. The right-hand side of this last equation is thus an

exact differential since it equals $\mathrm{d} \phi$. That is, $f$ is conservative if $f_{1} \mathrm{~d} x+$ $f_{2} \mathrm{~d} y+f_{3} \mathrm{~d} z$ is an exact differential. Moreover, if $\phi$ is a $C^{2}$ function, then (Definition 2.8, Page 83 ) we may conclude that
$$
\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} \phi}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x \partial z}=\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z \partial x}, \quad \frac{\partial^{2} \phi}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z \partial y}
$$
Again, making the substitution $\nabla \phi=\boldsymbol{f}$, we see that if $\phi$ is a potential to $f$, then the above equations are equivalent to:
$$
\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}, \quad \frac{\partial f_{3}}{\partial x}=\frac{\partial f_{1}}{\partial z}, \quad \frac{\partial f_{3}}{\partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial z} .
$$
These are necessary conditions for $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{\nabla} \phi$ to be true and thus for $\boldsymbol{f}$ to be a conservative field. That is, the components of a conservative field must satisfy these interrelations. (See also Pages $258-260$ and 288.)

微积分作业代写calclulus代考|Vector fields

A $3 \mathrm{D}$ vector-valued function of a $3 \mathrm{D}$ vector variable,
$$
f: D_{f} \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, \boldsymbol{x} \longmapsto \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}),
$$
has special significance in physics and engineering, and other applications in the real world. Hence, it is given a special name: a vector field. To be explicit, an arbitrary vector field has the form
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) &=\left(f_{1}(x, y, z), f_{2}(x, y, z), f_{3}(x, y, z)\right) \
&=f_{1}(x, y, z) \mathbf{i}+f_{2}(x, y, z) \mathbf{j}+f_{3}(x, y, z) \mathbf{k}
\end{aligned}
$$
where the $f_{1}, f_{2}$, and $f_{3}$ are scalar functions of the three variables $x, y, z$.
Note that the subseripts “1”, “2”, and “3”, do not here refer to partial derivatives, they refer to the components of our vector field.

Unless otherwise stated, we shall assume that the vector fields we work with have continuous partial derivatives of order $m \geq 2$. We will often refer to these as smooth and presume the component functions are $C^{2}$ or better.

微积分作业代写calclulus代考| Vector fields

微积分作业代写calclulus代考|Conservative fields

尽管标量势和保守场出现在物理学的许多领域,但并非所有矢量场都是保守的。也就是说,并非所有矢量场都可以从标量场导出。在下一节中,我们将发现保守域的一个重要且吸引人的数学性质。目前,我们关注确定向量场是否保守的问题,如果是,那么它的标量势是多少。

为了回答这些问题,我们来看看标量势本身的性质。首先,我们看到它是一个标量势,φ:D⟶R必须至少C1. 因此,作为一个C1函数,微分φ可以得出:
dφ=∂φX dX+∂φ d+∂φ d =F1 dX+F2 d+F3 d
的更换φF在最后一个等式中是有效的,因为F=φ通过假设。因此,最后一个等式的右边是

精确微分,因为它等于dφ. 那是,F如果是保守的F1 dXF2 d+F3 d是一个精确的微分。此外,如果φ是一个C2函数,那么(定义 2.8,第 83 页)我们可以得出结论:
∂2φX=∂2φX,∂2φX=∂2φX,∂2φ=∂2φ
再次,进行替换∇φ=F, 我们看到如果φ是一个潜在的F,则上述方程等价于:
F1∂=∂F2∂X,∂F3∂X=∂F1∂,∂F3∂=∂F2∂.
这些都是必要条件F=φ是真实的,因此对于F成为一个保守的领域。也就是说,保守场的成分必须满足这些相互关系。(另见页258−260和 288。)

微积分作业代写calclulus代考|Vector fields

一种3Da 的向量值函数3D向量变量,
F:DF⊆R3⟶R3,X=F(X),
在物理和工程以及现实世界的其他应用中具有特殊的意义。因此,它被赋予了一个特殊的名称:向量场。明确地说,任意向量场具有以下形式
F(X)=(F1(X,,),F2(X,,),F3(X,,)) =F1(X,,)一世+F2(X,,)j+F3(X,,)
在哪里F1,F2, 和F3是三个变量的标量函数X,,.
请注意,子序列“1”、“2”和“3”在这里并不是指偏导数,它们指的是向量场的分量。

除非另有说明,否则我们将假设我们使用的向量场具有连续的阶偏导数≥2. 我们通常将这些称为平滑并假设组件函数是C2或更好。

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