微积分作业代写calclulus代考|Some vector algebra essentials

微积分作业代写calclulus代考|Some vector algebra essentials

微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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微积分作业代写calclulus代考

微积分作业代写calclulus代考|Unit vectors in 3-space

Let $a>0$ be a scalar, and let
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{v} &=(\alpha, \beta, \gamma) \
&=\alpha \mathbf{i}+\beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k} \
&=\alpha \mathbf{e}{1}+\beta \mathbf{e}{2}+\gamma \mathbf{e}_{3}
\end{aligned}
$$
be a vector in $\mathbb{R}^{3}$ (see Section 1.B) with $x-y$, and $z$-components $\alpha, \beta$, and $\gamma$.

This vector has been written in the three most common forms appearing in current texts. The sets ${\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}}$ and $\left{\mathbf{e}{1}, \mathbf{e}{2}, \mathbf{e}_{3}\right}$ represent the same set of unit vectors in mutually orthogonal directions in $\mathbb{R}^{3}$. The first form simply shows the components along the three orthogonal directions without reference to the unit vectors themselves, although the unit vectors and the coordinate system are implicit in this notation. The reader should be aware that we shall have occasion to refer to vectors using any of the three formats. The choice will depend on what is most convenient at that time without compromising understanding.

Multiplying a vector $v$ with a scalar will return a new vector with either the same direction if the scalar is positive or the opposite direction if the scalar is negative. In either case the resulting vector has different magnitude (Figure 1.1). This re-scaling will be a feature in Chapter 5 where we will need vectors of unit magnitude. For $a v$, with $a \in \mathbb{R}$, to be a unit vector we must have
$$
|a \boldsymbol{v}|=|a||\boldsymbol{v}|=a \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}=1, \text { i.e., } a=\frac{1}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}} .
$$
Therefore, to construct a unit vector in the direction of a specific vector $v$ we simply divide $\boldsymbol{v}$ by its length:
$$
\boldsymbol{N}=\frac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|}
$$

微积分作业代写calclulus代考|The product of two vectors in 3-space

Let $\boldsymbol{u}$ and $\boldsymbol{v}$ be two non-parallel vectors in $\mathbb{R}^{3}$ :
$$
\boldsymbol{u}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \quad \boldsymbol{v}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
$$
There are two particular product operations that we will utilize on many occasions. These are the vector and scalar products. From them very useful information can be extracted.
(a) A vector perpendicular to both $\boldsymbol{u}$ and $\boldsymbol{v}$ is
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} &=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a_{1} & a_{2} & a_{3} \
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{array}\right| \
&=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \
&=-\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{u} .
\end{aligned}
$$
This is called the “vector” or “cross” product. Note that $\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$ is antiparallel to $\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{u}$. The relationship between the three vectors is shown in Figure $1.5$.
(b) The magnitude of the vector (cross) product of two vectors
$$
|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{w}|=|| \begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a_{1} & a_{2} & a_{3} \
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{array}||=\sqrt{\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)^{2}+\cdots}
$$
gives the area of a plane parallelogram whose side lengths are $|\boldsymbol{u}|$ and $|\boldsymbol{v}|$

微积分作业代写calclulus代考|Some vector algebra essentials

微积分作业代写calclulus代考|Unit vectors in 3-space

让一种>0是一个标量,并让
v=(一种,b,C) =一种一世+bj+C到 =一种和1+b和2+C和3
成为向量R3(见第 1.B 节)与X−和, 和和-成分一种,b, 和C.

该向量以当前文本中出现的三种最常见的形式编写。套装一世,j,到和 $\left{\mathbf{e} {1}, \mathbf{e} {2}, \mathbf{e}_{3}\right}r和pr和s和n吨吨H和s一种米和s和吨○F你n一世吨v和C吨○rs一世n米你吨你一种一世一世和○r吨H○G○n一种一世d一世r和C吨一世○ns一世n\mathbb{R}^{3}$。第一种形式简单地显示了沿三个正交方向的分量,而不参考单位矢量本身,尽管单位矢量和坐标系在此表示法中是隐含的。读者应该知道,我们将有机会使用三种格式中的任何一种来引用向量。在不影响理解的情况下,选择将取决于当时最方便的方式。

乘以一个向量v如果标量为正,则使用标量将返回具有相同方向的新向量,如果标量为负,则返回具有相反方向的新向量。在任何一种情况下,结果向量都有不同的大小(图 1.1)。这种重新缩放将是第 5 章中的一个特性,我们将需要单位量级的向量。为了一种v, 和一种∈R,要成为单位向量,我们必须有
|一种v|=|一种||v|=一种一种2+b2+C2=1, IE, 一种=1一种2+b2+C2.
因此,要构造一个特定向量方向的单位向量v我们简单地划分v通过它的长度:
ñ=v|v|

微积分作业代写calclulus代考|The product of two vectors in 3-space

让你和v是两个不平行的向量R3:
你=(一种1,一种2,一种3)v=(b1,b2,b3).
我们将在很多场合使用两种特定的产品操作。这些是向量和标量产品。从中可以提取出非常有用的信息。
(a) 垂直于两者的向量你和v是
在=你×v=|一世j到 一种1一种2一种3 b1b2b3| =(一种2b3−一种3b2,一种3b1−一种1b3,一种1b2−一种2b1) =−v×你.
这称为“向量”或“交叉”乘积。注意你×v反平行于v×你. 三个向量之间的关系如图所示1.5.
(b) 两个向量的向量(叉)积的大小
|你×v|=|在|=||一世j到 一种1一种2一种3 b1b2b3||=(一种2b3−一种3b2)2+⋯
给出一个平面平行四边形的面积,其边长为|你|和|v|

微积分作业代写calclulus代考

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