简单的说，学好微积分（数学分析）是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。
转变思维永远不是简单，但是不转变，贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候，我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音，还喜欢学各种解题技巧，这个时候我和他的成绩是一样的。
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微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Genesis and Development
The classical Schwarz lemma is part of the grist of every complex analysis class. A version of it says this:
Lemma 2.1.1. Let $f: D \rightarrow D$ be holomorphic. Assume that $f(0)=0$. Then
(a) $|f(z)| \leq|z|$ for all $z \in D$;
(b) $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$
At least as important as these two statements are the cognate uniqueness statements:
(c) If $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$, then $f$ is a rotation: $f(z)=\lambda z$ for some unimodular complex constant $\lambda$;
(d) If $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$, then $f$ is a rotation: $f(z)=\lambda z$ for some unimodular complex constant $\lambda$.
There are a number of ways to prove this result. The classical argument is to consider $g(z)=f(z) / z$. On a circle $|z|=1-\epsilon$, we see that $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. Thus $|f(z)| \leq|z| /(1-\epsilon)$. Since this inequality holds for all $\epsilon>0$, part (a) follows. The Cauchy estimates show that $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
For the uniqueness, if $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$, then $|g(z)|=1$. The maximum modulus principle then forces $g$ to be a unimodular constant, and hence $f$ is a rotation. If instead $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$, then $|g(0)|=1$ and again the maximum modulus principle yields that $f$ is a rotation.
微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Other Versions of Schwarz’s Lemma
Here we present some fascinating but less well known versions of the Schwarz lemma concept.
Proposition 2.2.1. Let $f$ be holomorphic on $D(0, r)$, and assume that $|f(z)| \leq$ $M$ for all $z$. Then
$$
\left|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\right| \leq \frac{2 M r}{\left|r^{2}-\bar{z} w\right|} .
$$
Proof. Define
$$
g(z)=\frac{f(r z)}{M} .
$$
Then $g: D \rightarrow D$ and we may apply Schwarz-Pick to $g$. The result is
$$
\left|\frac{g(z)-g(w)}{1-\overline{g(z)} g(w)}\right| \leq\left|\frac{z-w}{1-\bar{z} w}\right|,
$$
which translates to
$$
\left|\frac{f(r z) / M-f(r w) / M}{1-\overline{f(r z) / M} \cdot f(r w) / M}\right| \leq\left|\frac{z-w}{w-\bar{z} w}\right| .
$$
微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代 考|Genesis and Development
经典的 Schwarz 引理是每个复杂分析类的要点的一部分。它的一个版本是这样说的:
引理 2.1.1。让 $f: D \rightarrow D$ 是全纯的。假使，假设 $f(0)=0$. 那么
(一) $|f(z)| \leq|z|$ 对所有人 $z \in D$;
(二) $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$
至少与这两个陈述一样重要的是同源唯一性陈述:
(c) 如果 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ ，然后 $f$ 是一个旋转: $f(z)=\lambda z$ 对于一些单 模复数常数 $\lambda$;
(d) 如果 $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$ ，然后 $f$ 是一个旋转: $f(z)=\lambda z$ 对于一些单模复数常数 $\lambda$. 有很多方法可以证明这个结果。经典的论点是考虑 $g(z)=f(z) / z$. 在一个圆圈上 $|z|=1-\epsilon$, 我们看到 $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. 因此 $|f(z)| \leq|z| /(1-\epsilon)$. 由于这种不 等式适用于所有人 $\epsilon>0$ ，(a) 部分如下。柯西估计表明 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
为了唯一性，如果 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ ，然后 $|g(z)|=1$. 然后，最大模量原 理迫使 $g$ 是一个单模常数，因此 $f$ 是一个旋转。如果相反 $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$ ，然后 $|g(0)|=1$ 并且最大模量原理再次得出 $f$ 是一个旋转。
微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代 考 Other Versions of Schwarz’s Lemma
在这里，我们展示了 Schwarz 引理嘅念的一些引人入胜但鮮为人知的版本。
命题 2.2.1。让 $f$ 全纯 $D(0, r)$ ，并假设 $|f(z)| \leq M$ 对所有人 $z$. 然后
$$
\left|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\right| \leq \frac{2 M r}{\left|r^{2}-\bar{z} w\right|} .
$$
证明。定义
$$
g(z)=\frac{f(r z)}{M} .
$$
然后 $g: D \rightarrow D$ 我们可以将 Schwarz-Pick 应用于 $g$. 结果是
$$
\left|\frac{g(z)-g(w)}{1-\overline{g(z)} g(w)}\right| \leq\left|\frac{z-w}{1-\bar{z} w}\right|,
$$
这转化为
$$
\left|\frac{f(r z) / M-f(r w) / M}{1-\overline{f(r z) / M} \cdot f(r w) / M}\right| \leq\left|\frac{z-w}{w-\bar{z} w}\right| .
$$
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