简单的说，学好微积分（数学分析）是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。
转变思维永远不是简单，但是不转变，贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候，我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音，还喜欢学各种解题技巧，这个时候我和他的成绩是一样的。
国外的老师较为看重学生homework的完成情况，对于同学们来说，完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说，在自身英语说存在局限的情况下，当数学基础较为薄弱时，微积分作业的难度一下子就提升了，很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰，我们不仅会帮大家完成作业，还提供相应的数学知识辅导课程，以此来提高同学们学习能力。
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- 多变量微积分
- 傅里叶级数
- 黎曼积分
- ODE
- 微分学
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Counterexamples
This section will shed some light on the role of the conditions in Theorem 6.1. The first result shows that the row sums of a square integrable martingale difference array have weak limit points if the row sums of the conditional variances are bounded in probability.
Proposition 6.9 Let $\left(X_{n k}\right){1 \leq k \leq k{n}, n \in \mathbb{N}}$ be a square integrable martingale difference array adapted to an array $\left(\mathcal{F}{n k}\right){0 \leq k \leq k_{n}, n \in \mathbb{N}}$ of $\sigma$-fields. If the sequence $\left(\sum_{k=1}^{k_{n}} E\left(X_{n k}^{2} \mid \mathcal{F}{n, k-1}\right)\right){n \in \mathbb{N}}$ is bounded in probability, then the sequence $\left(\sum_{k=1}^{k_{n}} X_{n k}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ is also bounded in probability.
Note that for sequences of real (or $\mathbb{R}^{d}$-valued) random variables boundedness in probability is the same as tightness.
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Further Sufficient Conditions
The conditions (N) and (CLB) in Theorem $6.1$ may be replaced by several other sets of sufficient conditions. Some of these will be introduced and discussed in this section, which is partly based on [34]. We always consider an array $\left(X_{n k}\right){1 \leq k \leq k{n}, n \in \mathbb{N}}$ of random variables and an array $\left(\mathcal{F}{n k}\right){0 \leq k \leq k_{n}, n \in \mathbb{N}}$ of sub- $\sigma$-fields of $\mathcal{F}$ for some basic probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. The $\sigma$-fields $\mathcal{G}{n k}$ and $\mathcal{G}$ are defined as in Theorem 6.1. For a square integrable array $\left(X{n k}\right){1 \leq k \leq k{n}, n \in \mathbb{N}}$ we introduce the condition
$\left(\mathrm{M}{2}\right) \quad E\left(\max {1 \leq k \leq k_{n}} X_{n k}^{2}\right) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$
whereas the conditions
$\left(\mathrm{M}{1}\right) \quad E\left(\max {1 \leq k \leq k_{n}}\left|X_{n k}\right|\right) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$
and
$\left(\mathrm{CLB}{1}\right) \quad \sum{k=1}^{k_{n}} E\left(\left|X_{n k}\right| 1_{\left{\left|X_{n k}\right| \geq \varepsilon\right}} \mid \mathcal{F}{n, k-1}\right) \rightarrow 0 \quad$ in probability as $n \rightarrow \infty$ for every $\varepsilon>0$ can be imposed on any array $\left(X{n k}\right){1 \leq k \leq k{n}, n \in \mathbb{N}}$ of integrable random variables.
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Counterexamples
本节将阐明定理 $6.1$ 中条件的作用。第一个结果表明，如果条件方差的行和在概率上是
有界的，则平方可积鞅差数组的行和具有弱极限点。
命题 $6.9$ 让 $\left(X_{n k}\right) 1 \leq k \leq k n, n \in \mathbb{N}$ 是适应数组的平方可积鞅差数组
$(\mathcal{F} n k) 0 \leq k \leq k_{n}, n \in \mathbb{N}$ 的 $\sigma$-字段。如果序列
$\left(\sum_{k=1}^{k_{n}} E\left(X_{n k}^{2} \mid \mathcal{F} n, k-1\right)\right) n \in \mathbb{N}$ 是概率有界的，那么序列
$\left(\sum_{k=1}^{k_{n}} X_{n k}\right){n \in \mathbb{N}}$ 也是有界的概率。 请注意，对于实数序列 (或 $\mathbb{R}^{d}$-valued) 随机变量的概率有界性与紧密性相同。
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Further Sufficient Conditions
定理中的条件 ( $\mathrm{N})$ 和 (CLB)6.1可以用其他几组充分条件代替。其中一些将在本节中介 绍和讨论，部分基于[34]。我们总是考虑一个数组 $\left(X{n k}\right) 1 \leq k \leq k n, n \in \mathbb{N}$ 随机变
量和数组 $(\mathcal{F} n k) 0 \leq k \leq k_{n}, n \in \mathbb{N}$ 的子 $\sigma$ – 领域 $\mathcal{F}$ 对于一些基本的概率空间
$(\Omega, \mathcal{F}, P)$. 这 $\sigma$-字段 $\mathcal{G} n k$ 和 $\mathcal{G}$ 定义如定理 6.1。对于正方形可积数组
$(X n k) 1 \leq k \leq k n, n \in \mathbb{N}$ 我们引入条件
(M2) $E\left(\max 1 \leq k \leq k_{n} X_{n k}^{2}\right) \rightarrow 0$ 作为 $n \rightarrow \infty$
而条件
(M1) $E\left(\max 1 \leq k \leq k_{n}\left|X_{n k}\right|\right) \rightarrow 0$ 作为 $n \rightarrow \infty$
和
概率为 $n \rightarrow \infty$ 对于每个 $\varepsilon>0$ 可以施加在任何阵列上 $(X n k) 1 \leq k \leq k n, n \in \mathbb{N}$
的可积随机变量。
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