微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|MATH122 Cousin covering lemma

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|MATH122 Cousin covering lemma

微积分作业代写calclulus代考|Cousin covering lemma

LEMMA $2.4$ (Cousin). Let $\beta$ be a full cover. Then $\beta$ contains a partition of every compact interval $[a, b]$, i.e., there is a subset $\pi$ of $\beta$,
$$
\pi=\left{\left(\left[a_{i}, b_{i}\right], \xi_{i}\right): i=1,2,3, \ldots, n\right}
$$
so that the intervals $\left[a_{i}, b_{i}\right]$ are nonoverlapping and combine to form the whole interval $[a, b]$.
PROOF IN SECTION 7.5.1.
COROLLARY 2.5. Let $\beta$ be a Cousin cover of a compact interval $[a, b]$. Then $\beta$ contains a partition of every compact subinterval of $[a, b]$.
PROOF IN SECTION 7.5.2.

微积分作业代写calclulus代考|An application of the Cousin lemma

The Cousin lemma offers us a technique that can be used to prove Lemma $1.5$ that we just skipped over. This lemma follows from the following statement which we now prove, using the Cousin covering lemma:
Suppose that $F$ is a continuous function. Suppose that there is a sequence of points $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots$ of points and that $F^{\prime}(x)=0$ for all $x$ except possibly at the points $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots$ Then $F$ is constant.
The next chapter is devoted to an elaborate study of this lemma, in a more general exposition. It is, nonetheless, worth working through the details here as a preliminary to the studying the collection of definitions and techniques to be used there.

Proof. Fix an interval $[a, b]$. The proof is obtained by showing, for any $\epsilon>0$, that
$$
|F(b)-F(a)|<\epsilon . $$ This can only be true for all $\epsilon>0$ if $F(b)=F(a)$. This shows that $F$ is in fact constant.

We use a covering argument. We need to construct a full cover $\beta$ using a different construction at the points where $F^{\prime}(x)=0$ and at the points $e_{1}, e_{2}$, … where the derivative need not be zero. There are infinitely many steps so this value of $\epsilon$ will need to be split into infinitely many small pieces by the following simple identity:
$$
\epsilon=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{4}+\frac{\epsilon}{8}+\frac{\epsilon}{16}+\ldots
$$
The first step in the covering argument takes advantage of the fact that
$$
F^{\prime}(x)=0
$$
at points other than $e_{1}, e_{2}, \ldots$ Write
$$
\eta=\frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$
and
$$
\beta_{1}={([c, d], x): a<c \leq x \leq d<b \text { and }|F(d)-F(c)|<\eta(d-c)}
$$

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|MATH122 Cousin covering lemma

微积分作业代写calclulus代考|Cousin covering lemma


引理 $2.4$ (表哥) 。让 $\beta$ 做一个完整的封面。然后 $\beta$ 包含每个紧区间的一个分区 $[a, b]$ ,
即有一个子集 $\pi$ 的 $\beta$ ,
$\backslash$ pi=\left } { \backslash \text { left(\left[a_{i}, b_{i}\right } ] , \backslash x i _ { – } { i } \backslash \text { right } ) : i = 1 , 2 , 3 , \backslash \text { ldots, } n \backslash \text { right } }
使得区间 $\left[a_{i}, b_{i}\right]$ 不重垣并组合形成整个区间 $[a, b]$.
第 7.5.1 节中的证明。
推论 2.5。让 $\beta$ 是紧区间的表亲覆盖 $[a, b]$. 然后 $\beta$ 包含的每个紧子区间的一个分区 $[a, b]$.
第 7.5.2 节中的证明。


微积分作业代写calclulus代考|An application of the Cousin lemma


表亲引理为我们提供了一种可用于证明引|理的技术 $1.5$ 我们刚刚跳过。这个引理来自我 们现在证明的以下陈述,使用表亲覆盖引理:
假设 $F$ 是一个连续函数。假设有一个点序列 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots$ 点数和那个 $F^{\prime}(x)=0$ 对所 有人 $x$ 除了可能在点 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots$ 然后 $F$ 是恒定的。
下一章将致力于对这个引理进行详尽的研究,并进行更一般的阐述。尽管如此,作为研 究将在此处使用的定义和技术的集合的初步准备,还是值得研究此处的细节。
证明。固定间隔 $[a, b]$. 证明是通过证明获得的,对于任何 $\epsilon>0$ ,那
$$
|F(b)-F(a)|<\epsilon . $$ 这只能适用于所有人 $\epsilon>0$ 如果 $F(b)=F(a)$. 这表明 $F$ 实际上是恒定的。
我们使用覆盖论点。我们需要构建一个完整的覆盖 $\beta$ 在点使用不同的结构 $F^{\prime}(x)=0$ 并 且在点 $e_{1}, e_{2}, \ldots$ 导数不必为零。有无限多的步骤,所以这个值 $\epsilon$ 将需要通过以下简单身 份分成无限多个小块:
$$
\epsilon=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{4}+\frac{\epsilon}{8}+\frac{\epsilon}{16}+\ldots
$$
覆盖论证的第一步利用了以下事实:
$$
F^{\prime}(x)=0
$$
在除 $e_{1}, e_{2}, \ldots$ 写
$$
\eta=\frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$

$$
\beta_{1}=([c, d], x): a<c \leq x \leq d<b \text { and }|F(d)-F(c)|<\eta(d-c)
$$

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