随机微积分（stochastic calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|Upcrossing Lemma
$$
E\left(U_{N}(\alpha, \beta)\right) \leq \frac{E\left(X_{N}^{+}\right)+|\alpha|}{\beta-\alpha}
$$
Proof. For each $n \geq 1$ set $Y_{n}=\left(X_{n}-\alpha\right)^{+}$. Then $Y_{n} \geq 0$ is a submartingale and we have
$$
X_{k} \leq \alpha \Longleftrightarrow Y_{k} \leq 0 \text { and } X_{k} \geq \beta \Longleftrightarrow Y_{k} \geq \beta-\alpha \text {. }
$$
Thus the upcrossings of $(\alpha, \beta)$ by $\left(X_{n}(\omega)\right)$ happen at exactly the same times as the upcrossings of $(0, \beta-\alpha)$ by $\left(Y_{n}(\omega)\right)$. Setting $T_{0}=1$ and recalling that $T_{N}=N$ we can write
$$
Y_{N} \geq Y_{N}-Y_{1}=\sum_{k=1}^{N}\left(Y_{T_{k}}-Y_{T_{k-1}}\right)=\sum_{k=1}^{N}\left(Y_{T_{k}}-Y_{S_{k}}\right)+\sum_{k=1}^{N}\left(Y_{S_{k}}-Y_{T_{k-1}}\right) .
$$
If $S_{k}(\omega)<N$, then $Y_{S_{k}(\omega)}(\omega)=0$, and if $S_{k}(\omega)=N$, then $T_{k}(\omega)=N$ also. In any case we have $\left(Y_{T_{k}}-Y_{S_{k}}\right)(\omega) \geq 0$, for all $k=1,2, \ldots, N$. Moreover $U_{N}(\alpha, \beta)(\omega) \leq N$ and $\left(Y_{T_{k}}-Y_{S_{k}}\right)(\omega) \geq \beta-\alpha$, for all $k=1,2, \ldots, U_{N}(\alpha, \beta)(\omega)$, according to 4.a.1.(c). Thus $\sum_{k=1}^{N}\left(Y_{T_{k}}-Y_{S_{k}}\right) \geq(\beta-\alpha) U_{N}(\alpha, \beta)$ at each point of $\Omega$ and consequently
$$
Y_{N} \geq(\beta-\alpha) U_{N}(\alpha, \beta)+\sum_{k=1}^{N}\left(Y_{S_{k}}-Y_{T_{k-1}}\right) .
$$
Taking expectations we find that
$$
E\left(Y_{N}\right) \geq(\beta-\alpha) E\left(U_{N}(\alpha, \beta)\right)+\sum_{k=1}^{N}\left(E\left(Y_{S_{k}}\right)-E\left(Y_{T_{k-1}}\right)\right) .
$$
Applying the Optional Sampling Theorem 3.b.1 to the submartingale $\left(Y_{n}\right)$ and bounded optional times $T_{k-1} \leq S_{k}$ yields $E\left(Y_{S_{k}}\right) \geq E\left(Y_{T_{k-1}}\right)$, for all $k=1, \ldots, N$. We conclude that
$$
E\left(Y_{N}\right) \geq(\beta-\alpha) E\left(U_{N}(\alpha, \beta)\right)
$$
equivalently, that $E\left(U_{N}(\alpha, \beta)\right) \leq E\left(Y_{N}\right) /(\beta-\alpha)$. It remains to be shown merely that $E\left(Y_{N}\right) \leq E\left(X_{N}^{+}\right)+|\alpha|$. This follows immediately from $Y_{N}=\left(X_{N}-\alpha\right)^{+} \leq$ $X_{N}^{+}+|\alpha|$ upon taking expectations. $\boldsymbol{I}$
微积分作业代写calclulus代考|Upcrossings
4.a.0. Let $N \geq 1, B$ a Borel set and $S$ an optional time. Set
$$
T(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \in B\right}
$$
Then $T$ is an optional time.
Remark. Recall the convention $\inf (\emptyset)=+\infty$. It follows that $T(\omega)=N$, if there does not exist $k$ such that $S(\omega)<k<N$ and $X_{k}(\omega) \in B$, and $T(\omega)$ is the smallest such $k$, especially $T(\omega)<N$, if such $k$ exists.
Proof. Since the sequence $X$ is $\left(\mathcal{F}{n}\right)$-adapted, we have $\left[X{k} \in B\right] \in \mathcal{F}{k}$, for all $k \geq 1$. If $n \geq N$, we have $[T \leq n]=\Omega \in \mathcal{F}{n}$. Let now $nj$ such that $X_{n}(\omega) \geq \beta$ and the difference $k-j$ is maximal subject to these constraints. In other words $j{n}\right)$-optional. For $\omega \in \Omega$ set $$ \begin{aligned} &S{1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS_{1}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \geq \beta\right}
\end{aligned}
$$
Assuming that $S_{n}(\omega), T_{n}(\omega)$ have already been defined, we set
$$
\begin{aligned}
&S_{n+1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kT_{n}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \leq \alpha\right} \text { and } \
&T_{n+1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS_{n+1}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \geq \beta\right}
\end{aligned}
$$
Note that
$$
S_{1}(\omega)<T_{1}(\omega)<S_{2}(\omega)<T_{2}(\omega)<\ldots<\left{\begin{array}{l}
S_{j}(\omega)=N=T_{j}(\omega)=S_{j+1}(\omega)=\ldots \
T_{j}(\omega)=N=S_{j+1}(\omega)=T_{j+1}(\omega)=\ldots,
\end{array}\right.
$$ that is, the sequence $\left(S_{1}, T_{1}, S_{2}, T_{2}, \ldots\right)$ is strictly increasing until one of its terms hits the value $N$, when all the following terms stabilize at $N$. $\operatorname{Moreover} S_{j}(\omega), T_{j}(\omega)$ equal $N$ if and only if the condition for $k$ in the defining infimum can no longer be satisfied. Clearly $S_{N}(\omega)=T_{N}(\omega)=N$.
微积分作业代写calclulus代考|Upcrossing Lemma
和(üñ(一种,b))≤和(Xñ+)+|一种|b−一种
证明。对于每个n≥1放和n=(Xn−一种)+. 然后和n≥0是一个亚鞅，我们有
X到≤一种⟺和到≤0 和 X到≥b⟺和到≥b−一种.
因此上交(一种,b)经过(Xn(ω))发生在与上交点完全相同的时间(0,b−一种)经过(和n(ω)). 环境吨0=1并回忆起吨ñ=ñ我们可以写
和ñ≥和ñ−和1=∑到=1ñ(和吨到−和吨到−1)=∑到=1ñ(和吨到−和小号到)+∑到=1ñ(和小号到−和吨到−1).
如果小号到(ω)<ñ， 然后和小号到(ω)(ω)=0， 而如果小号到(ω)=ñ， 然后吨到(ω)=ñ还。无论如何，我们有(和吨到−和小号到)(ω)≥0， 对所有人到=1,2,…,ñ. 而且üñ(一种,b)(ω)≤ñ和(和吨到−和小号到)(ω)≥b−一种， 对所有人到=1,2,…,üñ(一种,b)(ω)，根据 4.a.1.(c)。因此∑到=1ñ(和吨到−和小号到)≥(b−一种)üñ(一种,b)在每个点Ω因此
和ñ≥(b−一种)üñ(一种,b)+∑到=1ñ(和小号到−和吨到−1).
考虑期望，我们发现
和(和ñ)≥(b−一种)和(üñ(一种,b))+∑到=1ñ(和(和小号到)−和(和吨到−1)).
将可选采样定理 3.b.1 应用于子鞅(和n)和有界的可选时间吨到−1≤小号到产量和(和小号到)≥和(和吨到−1)， 对所有人到=1,…,ñ. 我们得出结论
和(和ñ)≥(b−一种)和(üñ(一种,b))
等效地，即和(üñ(一种,b))≤和(和ñ)/(b−一种). 有待证明的只是和(和ñ)≤和(Xñ+)+|一种|. 这立即从和ñ=(Xñ−一种)+≤ Xñ++|一种|在接受期望时。一世
微积分作业代写calclulus代考|Upcrossings
4.a.0. 让ñ≥1,乙一个 Borel 集和小号一个可选的时间。放
T(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \in B\right}T(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \in B\right}
然后吨是一个可选的时间。
评论。回想一下约定信息(∅)=+∞. 它遵循吨(ω)=ñ, 如果不存在到这样小号(ω)<到<ñ和X到(ω)∈乙， 和吨(ω)是最小的这样到， 尤其吨(ω)<ñ, 如果这样到存在。
证明。由于序列X是 $\left(\mathcal{F} {n}\right)−一种d一种p吨和d,在和H一种v和\left[X {k} \in B\right] \in \mathcal{F} {k},F○r一种一世一世k \ geq 1.一世Fn \geq 女性,在和H一种v和[T \leq n]=\Omega \in \mathcal{F} {n}.一世和吨n○在新泽西州s你CH吨H一种吨X_{n}(\omega)\geq\beta一种nd吨H和d一世FF和r和nC和kj一世s米一种X一世米一种一世s你bj和C吨吨○吨H和s和C○ns吨r一种一世n吨s.一世n○吨H和r在○rdsj{n}\右）−○p吨一世○n一种一世.F○r\欧米茄\中\欧米茄s和吨\begin{aligned} &S{1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS_{1}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \geq \beta \right} \end{对齐}\begin{aligned} &S{1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS_{1}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \geq \beta \right} \end{对齐}一种ss你米一世nG吨H一种吨S_{n}(\omega), T_{n}(\omega)H一种v和一种一世r和一种d和b和和nd和F一世n和d,在和s和吨\begin{aligned} &S_{n+1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kT_{n}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \leq \alpha\right} \text { and } \ &T_{n+1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS_{n+1}(\omega) \text { and } X_{ k}(\omega) \geq \beta\right} \end{对齐}\begin{aligned} &S_{n+1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kT_{n}(\omega) \text { and } X_{k}(\omega) \leq \alpha\right} \text { and } \ &T_{n+1}(\omega)=N \wedge \inf \left{1 \leq kS_{n+1}(\omega) \text { and } X_{ k}(\omega) \geq \beta\right} \end{对齐}ñ○吨和吨H一种吨$
S_{1}(\omega)<T_{1}(\omega)<S_{2}(\omega)<T_{2}(\omega)<\ldots<\left{小号j(ω)=ñ=吨j(ω)=小号j+1(ω)=… 吨j(ω)=ñ=小号j+1(ω)=吨j+1(ω)=…,\正确的。
$$ 即序列(小号1,吨1,小号2,吨2,…)严格增加，直到其中一项达到该值ñ, 当以下所有项稳定在ñ.而且小号j(ω),吨j(ω)平等的ñ当且仅当到在定义下确界不能再满足。清楚地小号ñ(ω)=吨ñ(ω)=ñ.
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