随机微积分作业代写stochastic calculus代考| MAXIMAL INEQUALITIES FOR SUBMARTINGALE SEQUENCES

随机微积分作业代写stochastic calculus代考| MAXIMAL INEQUALITIES FOR SUBMARTINGALE SEQUENCES

随机微积分(stochastic calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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随机微积分作业代写stochastic calculus代考

微积分作业代写calclulus代考|Expectations as Lebesgue integrals

6.a.0. Assume that $X \geq 0$ and that $h:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ is continuously differentiable, nondecreasing and satisfies $h(0)=0$. Then
$$
E(h \circ X)=\int_{\Omega} h(X(\omega)) P(d \omega)=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) P(X>t) d t=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) P(X \geq t) d t
$$
Proof. For each $\omega \in \Omega$
$$
\begin{aligned}
h(X(\omega)) &=h(X(\omega))-h(0)=\int_{0}^{X(\omega)} h^{\prime}(t) d t \
&=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) 1_{[0, X(\omega)]}(t) d t=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) 1_{[0, X(\omega)[}(t) d t
\end{aligned}
$$
The last two integrals are equal, since they are integrals with respect to Lebesgue measure on the line and their integrands differ only at the point $t=X(\omega)$. As $1_{[0, X(\omega)]}(t)=1_{[X \geq t]}(\omega)$ and $1_{[0, X(\omega)[}(t)=1_{[X>t]}(\omega)$ we can write this as
$$
h(X(\omega))=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) 1_{[X \geq t]}(\omega) d t \quad \text { and } \quad h(X(\omega))=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) 1_{[X>t \mid}(\omega) d t
$$
Using the first equality in $(0)$ we can show $E(h \circ X)=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) P([X \geq t]) d t$ by an application of Fubini’s theorem (justified by the $\sigma$-finiteness of Lebesgue measure and the positivity of the integrand $h^{\prime}(t) 1_{[X \geq t]}(\omega)$ below):
$$
\begin{aligned}
E(h \circ X) &=\int_{\Omega} h(X(\omega)) P(d \omega)=\int_{\Omega}\left(\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) 1_{[X \geq t]}(\omega) d t\right) P(d \omega) \
&=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t)\left(\int_{\Omega} 1_{[X \geq t]}(\omega) P(d \omega)\right) d t=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) P([X \geq t]) d t
\end{aligned}
$$
The proof of the equality $E(h \circ X)=\int_{0}^{+\infty} h^{\prime}(t) P([X>t]) d t$ is exactly the same starting from the second equality in $(0)$.

Remark. 6.a.0 applies for example also to the function $h(t)=\sqrt{t}$, which is not differentiable at the point 0 , since this function $h$ also satisfies $h(x)=\int_{0}^{x} h^{\prime}(t) d t$, for all $x \geq 0$. We will need this in 9 .d below.


微积分作业代写calclulus代考|Maximal inequalities for submartingale sequences

6.b.3. Let $\left(X_{k}\right){k=1}^{N}$ be a martingale and set $S^{}=\max {1 \leq k \leq N}\left|X_{k}\right|$. Then
$$
\left|X_{N}\right|_{p} \leq\left|S^{
}\right|_{p} \leq \frac{p}{p-1}\left|X_{N}\right|_{p}, \quad \forall p>1 .
$$
Proof. If $\left|X_{N}\right|_{p}=\infty$, there is nothing to prove. Thus assume that $X_{N} \in L^{P}(P)$. Then $X_{k} \in L^{p}(P), 1 \leq k \leq N(6$.b.1 $)$ and so $S^{} \in L^{p}(P)$ also. Moreover $\left(\left|X_{k}\right|\right){k=1}^{N}$ is a submartingale sequence and thus, according to 6 .b. 0 , $$ t P\left(\left[S^{} \geq t\right]\right) \leq \int{\Omega}\left|X_{N}\right| 1_{\left[S^{} \geq t\right]}, \quad t \geq 0 $$ Using 6.a.0 with $h(t)=t^{p}$, we can now write $$ \begin{aligned} \frac{1}{p} E\left(\left(S^{}\right)^{p}\right) &=\int_{0}^{+\infty} t^{p-1} P\left(S^{} \geq t\right) d t=\int_{0}^{+\infty} t^{p-2} t P\left(S^{} \geq t\right) d t \leq \text { (using (1)) } \leq \
& \leq \int_{0}^{+\infty}\left[\int_{\Omega} t^{p-2}\left|X_{N}(\omega)\right| 1_{\left[S^{} \geq t\right]}(\omega) P(d \omega)\right] d t=\text { (Fubini) }=\ &=\int_{\Omega}\left[\int_{0}^{+\infty}\left|X_{N}\right| t^{p-2} 1_{\left[0, S^{}(\omega)\right]}(t) d t\right] P(d \omega)=E\left[\left|X_{N}\right| \int_{0}^{S^{}(\omega)} t^{p-2} d t\right] \ &=\frac{1}{p-1} E\left(\left|X_{N}\right|\left(S^{}\right)^{(p-1)}\right)
\end{aligned}
$$
Now let $q$ denote the exponent conjugate to $p$, given by $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ and so $q=\frac{p}{p-1}$. Multiplying the above inequality with $p$ and using Holder’s inequality we obtain
$$
\begin{aligned}
E\left(\left(S^{}\right)^{p}\right) & \leq q E\left(\left|X_{N}\right|\left(S^{}\right)^{(p-1)}\right) \leq q E\left(\left|X_{N}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} E\left(\left(S^{}\right)^{(p-1) q}\right)^{\frac{1}{q}} \ &=q\left|X_{N}\right|_{p} E\left(\left(S^{}\right)^{p}\right)^{\frac{1}{q}}
\end{aligned}
$$
Divide by $E\left(\left(S^{}\right)^{p}\right)^{\frac{1}{q}}$ using $1-\frac{1}{q}=\frac{1}{p}$ to obtain $E\left(\left(S^{}\right)^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \leq q\left|X_{N}\right|_{p}$. This is the second inequality in 6.b.3. The first inequality is trivial.

随机微积分作业代写stochastic calculus代考| MAXIMAL INEQUALITIES FOR SUBMARTINGALE SEQUENCES

微积分作业代写calclulus代考|Expectations as Lebesgue integrals

6.a.0. 假使,假设X≥0然后H:[0,+∞)→[0,+∞)是连续可微的,不减的并且满足H(0)=0. 然后
和(H∘X)=∫ΩH(X(ω))磷(dω)=∫0+∞H′(吨)磷(X>吨)d吨=∫0+∞H′(吨)磷(X≥吨)d吨
证明。对于每个ω∈Ω
H(X(ω))=H(X(ω))−H(0)=∫0X(ω)H′(吨)d吨 =∫0+∞H′(吨)1[0,X(ω)](吨)d吨=∫0+∞H′(吨)1[0,X(ω)[(吨)d吨
最后两个积分相等,因为它们是关于线上勒贝格测度的积分,并且它们的被积函数仅在该点不同吨=X(ω). 作为1[0,X(ω)](吨)=1[X≥吨](ω)和1[0,X(ω)[(吨)=1[X>吨](ω)我们可以把它写成
H(X(ω))=∫0+∞H′(吨)1[X≥吨](ω)d吨 和 H(X(ω))=∫0+∞H′(吨)1[X>吨∣(ω)d吨
使用第一个等式(0)我们可以展示和(H∘X)=∫0+∞H′(吨)磷([X≥吨])d吨通过应用 Fubini 定理(由σ- Lebesgue测度的有限性和被积函数的正性H′(吨)1[X≥吨](ω)以下):
和(H∘X)=∫ΩH(X(ω))磷(dω)=∫Ω(∫0+∞H′(吨)1[X≥吨](ω)d吨)磷(dω) =∫0+∞H′(吨)(∫Ω1[X≥吨](ω)磷(dω))d吨=∫0+∞H′(吨)磷([X≥吨])d吨
等式的证明和(H∘X)=∫0+∞H′(吨)磷([X>吨])d吨从第二个等式开始完全一样(0).

评论。6.a.0 例如也适用于函数H(吨)=吨,在点 0 处不可微分,因为这个函数H也满足H(X)=∫0XH′(吨)d吨, 对所有人X≥0. 我们将在下面的 9 .d 中需要它。

微积分作业代写calclulus代考|Maximal inequalities for submartingale sequences

6.b.3。设 $\left(X_{k}\right) {k=1}^{N}b和一种米一种r吨一世nG一种一世和一种nds和吨S^{}=\max {1 \leq k \leq N}\left|X_{k}\right|.吨H和n$
\left|X_{N}\right|_{p} \leq\left|S^{
 }\right|_{p} \leq \frac{p}{p-1}\left|X_{N} \right|_{p}, \quad \forall p>1 。
$$
证明。如果|Xñ|p=∞,没有什么可以证明的。因此假设Xñ∈一世磷(磷). 然后X到∈一世p(磷),1≤到≤ñ(6.b.1)所以 $S^{ } \in L^{p}(P)一种一世s○.米○r和○v和r\left(\left|X_{k}\right|\right){k=1}^{N}一世s一种s你b米一种r吨一世nG一种一世和s和q你和nC和一种nd吨H你s,一种CC○rd一世nG吨○6.b.0,$ t P\left(\left[S^{} \geq t\right]\right) \leq \int {\Omega}\left|X_{N}\right| 1_{\left[S^{ } \geq t\right]}, \quad t \geq 0üs一世nG6.一种.0在一世吨H$H(吨)=吨p$,在和C一种nn○在在r一世吨和\begin{aligned} \frac{1}{p} E\left(\left(S^{ }\right)^{p}\right) &=\int_{0}^{+\infty} t^{ p-1} P\left(S^{ } \geq t\right) dt=\int_{0}^{+\infty} t^{p-2} t P\left(S^{ } \geq t \right) dt \leq \text { (使用 (1)) } \leq \
& \leq \int_{0}^{+\infty}\left[\int_{\Omega} t^{p-2}\左|X_{N}(\omega)\右| 1_{\left[S^{ } \geq t\right]}(\omega) P(d \omega)\right] dt=\text { (Fubini) }=\ &=\int_{\Omega}\left [\int_{0}^{+\infty}\left|X_{N}\right| t^{p-2} 1_{\left[0, S^{ }(\omega)\right]}(t) dt\right] P(d \omega)=E\left[\left|X_{N }\对| \int_{0}^{S^{ }(\omega)} t^{p-2} dt\right] \ &=\frac{1}{p-1} E\left(\left|X_{N }\right|\left(S^{ }\right)^{(p-1)}\right)
\end{aligned}
ñ○在一世和吨$q$d和n○吨和吨H和和Xp○n和n吨C○nj你G一种吨和吨○$p$,G一世v和nb和$1p+1q=1$一种nds○$q=pp−1$.米你一世吨一世p一世和一世nG吨H和一种b○v和一世n和q你一种一世一世吨和在一世吨H$p$一种nd你s一世nGH○一世d和r′s一世n和q你一种一世一世吨和在和○b吨一种一世n
\begin{对齐}
E\left(\left(S^{ }\right)^{p}\right) & \leq q E\left(\left|X_{N}\right|\left(S^{ }\right)^{(p-1)}\right) \leq q E\left(\left|X_{N}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} E\left(\left(S^{ }\right)^{(p-1) q}\right)^{\frac{1}{q}} \ &=q\left|X_{N}\right |_{p} E\left(\left(S^{ }\right)^{p}\right)^{\frac{1}{q}}
\end{aligned}
$$
除以$E\left (\left(S^{ }\right)^{p}\right)^{\frac{1}{q}}你s一世nG1-\frac{1}{q}=\frac{1}{p}吨○○b吨一种一世nE\left(\left(S^{ }\right)^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \leq q\left|X_{N}\right|_{p}$ . 这是 6.b.3 中的第二个不等式。第一个不等式是微不足道的。

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