随机微积分作业代写stochastic calculus代考| MEASURABILITY PROPERTIES OF STOCHASTIC PROCESSES

随机微积分作业代写stochastic calculus代考|  MEASURABILITY PROPERTIES OF STOCHASTIC PROCESSES

随机微积分(stochastic calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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随机微积分作业代写stochastic calculus代考

微积分作业代写calclulus代考|The progressive and predictable σ-fields on

1.a.0. Let $X$ be a progressively measurable process and $T$ an $\left(\mathcal{F}{t}\right)$-optional time. Then the process $X^{T}$ is progressively measurable and the random variable $X{T}$ is $\mathcal{F}_{T}$-measurable.

Remark. Here $X_{T}=X_{\infty}$ on the set $[T=\infty]$, where $X_{\infty}$ is any $\mathcal{F}_{\infty}$-measurable random variable.

Proof. Fix $t \geq 0$. The maps $(s, \omega) \in\left([0, t] \times \Omega, \mathcal{B}{t} \times \mathcal{F}{t}\right) \rightarrow u=T(\omega) \wedge s \in\left([0, t], \mathcal{B}{t}\right)$ and $(s, \omega) \in\left([0, t] \times \Omega, \mathcal{B}{t} \times \mathcal{F}{t}\right) \rightarrow \omega \in\left(\Omega, \mathcal{F}{t}\right)$ are measurable and hence so is
$$
(s, \omega) \in\left([0, t] \times \Omega, \mathcal{B}{t} \times \mathcal{F}{t}\right) \rightarrow(u, \omega)=(T(\omega) \wedge s, \omega) \in\left([0, t] \times \Omega, \mathcal{B}{t} \times \mathcal{F}{t}\right)
$$
Likewise the map $(u, \omega) \in\left([0, t] \times \Omega, \mathcal{B}{t} \times \mathcal{F}{t}\right) \rightarrow X(u, \omega) \in(\bar{R}, \overline{\mathcal{B}})$ is measurable by progressive measurability of $X$ and hence so is the composition of the last two maps, that is the map
$$
(s, \omega) \in\left([0, t] \times \Omega, \mathcal{B}{t} \times \mathcal{F}{t}\right) \rightarrow X(T(\omega) \wedge s, \omega)=X_{s}^{T}(\omega) \in(\bar{R}, \overline{\mathcal{B}}) .
$$
This shows that the process $X^{T}$ is progressively measurable and hence in particular adapted. To see that the random variable $X_{T}$ is $\mathcal{F}{T}$-measurable let $B \subseteq \bar{R}$ be a Borel set. We must show that $\left[X{T} \in B\right] \in \mathcal{F}{T}$, equivalently $\left[X{T} \in B\right] \cap[T \leq t] \in \mathcal{F}_{t}$, for all $0 \leq t \leq \infty$.

If $t<\infty$ then $\left[X_{T} \in B\right] \cap[T \leq t]=\left[X_{t \wedge T} \in B\right] \cap[T \leq t] \in \mathcal{F}{t}$, as $[T \leq t] \in \mathcal{F}{t}$ and the process $X^{T}$ is adapted. This implies that $\left[X_{T} \in B\right] \cap[T<\infty] \in \mathcal{F}{\infty}$ and since $\left[X{T} \in B\right] \cap[T=\infty] \in \mathcal{F}{\infty}$, by $\mathcal{F}{\infty}$-measurability of $X_{\infty}$, it follows that $\left[X_{T} \in B\right] \cap[T \leq t] \in \mathcal{F}_{t}$ for $t=\infty$ also.

A set $R$ of the form $R={0} \times F$, where $F \in \mathcal{F}{0}$, or $R=(s, t] \times F$, where $0 \leq s{s}$, is called a predictable rectangle. Note that the predictable rectangles form a $\pi$-system. The predictable $\sigma$-field is the $\sigma$-field $\mathcal{P}$ generated by the predictable rectangles on the set $\Pi$. The sets in $\mathcal{P}$ are called the predictable sets. The process $X: \Pi \rightarrow \bar{R}$ is called predictable, if it is measurable relative to the predictable $\sigma$-field $\mathcal{P}$. The process $X$ is called simple predictable, if it is a finite sum of processes of the form
$$
Z_{0}(\omega) 1_{{0}}(t), Z(\omega) 1_{(a, b]}(t)
$$
where $0 \leq a<b, Z_{0}$ is $\mathcal{F}{0}$-measurable and $Z$ is an $\mathcal{F}{a}$-measurable random variable. If for example $R$ is a predictable rectangle, then $X=1_{R}$ is a simple predictable process.

微积分作业代写calclulus代考|Stochastic intervals and the optional σ-field

1.b Stochastic intervals and the optional $\sigma$-field. For optional times $S, T: \Omega \rightarrow$ $[0, \infty]$ define the stochastic interval $[S, T]$ to be the set
$$
\llbracket S, T \rrbracket={(t, \omega) \in \Pi \mid S(\omega) \leq t \leq T(\omega)} .
$$
The stochastic intervals $] S, T \rrbracket, \llbracket S, T[$ and $] S, T[$ are defined similarly and are easily seen to be $\mathcal{B} \times \mathcal{F}$-measurable. A stochastic interval is a subset of $\Pi$ and hence does not contain a point of the form $(\infty, \omega)$, even if $T(\omega)=\infty$. It is not assumed that $S \leq T$. If $S(\omega)>T(\omega)$ then the $\omega$-section of any of the above stochastic intervals is empty. Note that
$$
1_{[S, T]}(t, \omega)=1_{[S(\omega), T(\omega)]}(t),
$$
and similar relations hold for all stochastic intervals. Real numbers $0 \leq s<t$ can be interpreted as constant optional times. Then the stochastic interval $\llbracket s, t \rrbracket$ is the set $[s, t] \times \Omega \subseteq \Pi$.

Every predictable rectangle $R$ is a stochastic interval. To see this, assume first that $R$ is of the form $R=(s, t] \times F$, with $F \in \mathcal{F}{s}, 0 \leq s{F e}+t 1_{F}$. For the optionality of $T$ see I.7.a.6. Note that the simpler representation $R=\rrbracket S, T \rrbracket$, where $S=s 1_{F}$ and $T=t 1_{F}$, does not work since in general neither of these is an optional time. In a similar way a predictable rectangle $R$ of the form $R={0} \times F$, with $F \in \mathcal{F}{0}$, can be written as $R=[S, T]$ with $T=0$ and $S=1{F^{c}} . S$ is optional since $F \in \mathcal{F}_{0}$.

The optional $\sigma$-field $\mathcal{O}$ on $\Pi$ is the $\sigma$-field generated by the family of all stochastic intervals. The sets in $\mathcal{O}$ are called the optional sets. From the above it follows that $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{O} \subseteq \mathcal{B} \times \mathcal{F}$.

A process $X: \Pi \rightarrow \bar{R}$ is called optional if it is measurable relative to the optional $\sigma$-field $\mathcal{O}$ on $\Pi$. Thus every predictable process is optional.

A more thorough investigation of the measurability properties of processes [CW] yields the following result (which we do not need):
1.b.0. (a) Every optional process is progressively measurable.
(b) Every right continuous process is optional.
Certain stochastic intervals are predictable:
1.b.1. Let $S, T$ be optional times. Then the stochastic intervals $[0, T]$ and $\rrbracket S, T]$ are predictable sets.

Proof. The processes $X=1_{[0, T]}$ and $Y=1_{] S, T]}$ are left continuous and hence

随机微积分作业代写stochastic calculus代考| MEASURABILITY PROPERTIES OF STOCHASTIC PROCESSES

微积分作业代写calclulus代考|The progressive and predictable σ-fields on

1.a.0。让X是一个逐步可衡量的过程,并且吨一个(F吨)- 可选时间。然后流程X吨是渐进可测量的,随机变量X吨是F吨- 可测量的。

评论。这里X吨=X∞在片场[吨=∞], 在哪里X∞是任何F∞- 可测量的随机变量。

证明。使固定吨≥0. 地图(s,ω)∈([0,吨]×Ω,乙吨×F吨)→你=吨(ω)∧s∈([0,吨],乙吨)和(s,ω)∈([0,吨]×Ω,乙吨×F吨)→ω∈(Ω,F吨)是可测量的,因此也是
(s,ω)∈([0,吨]×Ω,乙吨×F吨)→(你,ω)=(吨(ω)∧s,ω)∈([0,吨]×Ω,乙吨×F吨)
地图也一样(你,ω)∈([0,吨]×Ω,乙吨×F吨)→X(你,ω)∈(R¯,乙¯)可通过渐进式可测量性来测量X因此最后两张地图的组成也是如此,即地图
(s,ω)∈([0,吨]×Ω,乙吨×F吨)→X(吨(ω)∧s,ω)=Xs吨(ω)∈(R¯,乙¯).
这表明该过程X吨是逐渐可测量的,因此特别适用。看到随机变量X吨是F吨- 可测量的让乙⊆R¯是一个 Borel 集。我们必须证明[X吨∈乙]∈F吨, 等价[X吨∈乙]∩[吨≤吨]∈F吨, 对所有人0≤吨≤∞.

如果吨<∞然后[X吨∈乙]∩[吨≤吨]=[X吨∧吨∈乙]∩[吨≤吨]∈F吨, 作为[吨≤吨]∈F吨和过程X吨被改编。这意味着[X吨∈乙]∩[吨<∞]∈F∞并且因为[X吨∈乙]∩[吨=∞]∈F∞, 经过F∞- 可测量性X∞, 它遵循[X吨∈乙]∩[吨≤吨]∈F吨为了吨=∞还。

一套R形式的R=0×F, 在哪里F∈F0, 要么R=(s,吨]×F, 在哪里0≤ss,称为可预测矩形。请注意,可预测的矩形形成圆周率-系统。可预测的σ-字段是σ-场地磷由集合上的可预测矩形生成圆周率. 中的套装磷称为可预测集。过程X:圆周率→R¯被称为可预测的,如果它相对于可预测的是可测量的σ-场地磷. 过程X称为简单可预测的,如果它是以下形式的过程的有限和
和0(ω)10(吨),和(ω)1(一种,b](吨)
在哪里0≤一种<b,和0是F0- 可测量和和是一个F一种- 可测量的随机变量。如果例如R是一个可预测的矩形,那么X=1R是一个简单的可预测过程。

微积分作业代写calclulus代考|Stochastic intervals and the optional σ-field

1.b 随机区间和可选σ-场地。对于可选时间小号,吨:Ω→ [0,∞]定义随机区间[小号,吨]成为集合
\ll括号小号,吨\rr括号=(吨,ω)∈圆周率∣小号(ω)≤吨≤吨(ω).
随机区间]小号,吨\rr括号,\ll括号小号,吨[和]小号,吨[定义类似,很容易看出是乙×F- 可测量的。随机区间是圆周率因此不包含形式的点(∞,ω), 即使吨(ω)=∞. 不假定小号≤吨. 如果小号(ω)>吨(ω)然后ω- 任何上述随机区间的部分都是空的。注意
1[小号,吨](吨,ω)=1[小号(ω),吨(ω)](吨),
类似的关系适用于所有随机区间。实数0≤s<吨可以解释为恒定的可选时间。然后是随机区间\ll括号s,吨\rr括号是集合[s,吨]×Ω⊆圆周率.

每个可预测的矩形R是一个随机区间。要看到这一点,首先假设R是形式R=(s,吨]×F, 与 $F \in \mathcal{F} {s}, 0 \leq s{F e}+t 1_{F}.F○r吨H和○p吨一世○n一种一世一世吨和○F吨s和和一世.7.一种.6.ñ○吨和吨H一种吨吨H和s一世米p一世和rr和pr和s和n吨一种吨一世○nR=\rrbracket S, T \rrbracket,在H和r和S=s 1_{F}一种ndT=t 1_{F},d○和sn○吨在○r到s一世nC和一世nG和n和r一种一世n和一世吨H和r○F吨H和s和一世s一种n○p吨一世○n一种一世吨一世米和.一世n一种s一世米一世一世一种r在一种和一种pr和d一世C吨一种b一世和r和C吨一种nG一世和R○F吨H和F○r米R={0} \times F,在一世吨HF \in \mathcal{F}{0},C一种nb和在r一世吨吨和n一种sR=[S, T]在一世吨HT=0一种ndS=1{F^{c}} 。小号一世s○p吨一世○n一种一世s一世nC和F \in \mathcal{F}_{0}$。

可选的σ-场地○在圆周率是个σ- 由所有随机区间的族生成的场。中的套装○称为可选集。由上可知磷⊆○⊆乙×F.

一个过程X:圆周率→R¯如果相对于可选值是可测量的,则称为可选σ-场地○在圆周率. 因此,每个可预测的过程都是可选的。

对过程 [CW] 的可测量性属性进行更彻底的调查会产生以下结果(我们不需要):
1.b.0。(a) 每个可选过程都是可逐步衡量的。
(b) 每个正确的连续过程都是可选的。
某些随机区间是可预测的:
1.b.1。让小号,吨是可选的时间。然后是随机区间[0,吨]和\rr括号小号,吨]是可预测的集合。

证明。流程X=1[0,吨]和和=1]小号,吨]是连续的,因此

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