随机微积分（stochastic calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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6.c.0. Let $x, \Sigma, R$ be positive real numbers and $Y$ a standard normal variable. Then $E\left[\left(x e^{\Sigma Y-\frac{1}{2} \Sigma^{2}}-K e^{-R}\right)^{+}\right]=x N\left(d_{1}\right)-K e^{-R} N\left(d_{2}\right)=e^{-R}\left[f N\left(d_{1}\right)-K N\left(d_{2}\right)\right]$, where $f=x e^{R}, \quad d_{1}=\frac{\log (f / K)+\frac{1}{2} \Sigma^{2}}{\Sigma}, \quad d_{2}=d_{1}-\Sigma=\frac{\log (f / K)-\frac{1}{2} \Sigma^{2}}{\Sigma}$ and $N(d)=P(Y \leq d)$ is the standard normal distribution function.
Proof. Set $U=x \exp \left(\Sigma Y-\frac{1}{2} \Sigma^{2}\right)-K e^{-R}$. Then $U>0$ if and only if $Y>d=\left(\ln (K / f)+\frac{1}{2} \Sigma^{2}\right) / \Sigma$.
Thus
$E\left[U^{+}\right]=E[U ;[U>0]]=E\left[\left(x e^{\Sigma Y-\frac{1}{2} \Sigma^{2}}-K e^{-R}\right) ;[Y>d]\right]$
$=I_{1}-I_{2}, \quad$ where
$I_{1}=x E\left(e^{\Sigma Y-\frac{1}{2} \Sigma^{2}} ;[Y>d]\right) \quad$ and $\quad I_{2}=E\left(K e^{-R} ;[Y>d]\right) .$
Recall that $1-N(d)=N(-d)$, because of the symmetry of the standard normal density. It follows that
$$
I_{2}=K e^{-R} P(Y>d)=K e^{-R}(1-N(d))=K e^{-R} N(-d)=K e^{-R} N\left(d_{2}\right)
$$
Moreover, using $P_{Y}(d y)=(2 \pi)^{-1 / 2} \exp \left(-y^{2} / 2\right) d y$, we have
$$
\begin{aligned}
x^{-1} I_{1} &=\int_{d}^{\infty}(2 \pi)^{-\frac{1}{2}} \exp \left(-\frac{y^{2}}{2}+\Sigma y-\frac{1}{2} \Sigma^{2}\right) d y=\int_{d}^{\infty}(2 \pi)^{-\frac{1}{2}} \exp \left(-\frac{1}{2}(y-\Sigma)^{2}\right) d y \
&=\int_{d-\Sigma}^{\infty}(2 \pi)^{-\frac{1}{2}} e^{-y^{2} / 2} d y=(1-N(d-\Sigma))=N(\Sigma-d)=N\left(d_{1}\right)
\end{aligned}
$$
微积分作业代写calclulus代考|Processes with finite time horizon
6.e Processes with finite time horizon. In the study of financial markets we will fix a finite time horizon $T>0$ and consider a filtered probability space $\left(\Omega, \mathcal{F},\left(\mathcal{F}{t}\right){t \in[0, T]}, P\right)$ with $\mathcal{F}=\mathcal{F}_{T}$ and processes $X=X(t, \omega):[0, T] \times \Omega \rightarrow \bar{R}\left(R^{d}\right)$ defined on the finite time interval $[0, T]$.
Such a process $X$ will be called a continuous local martingale, semimartingale, etc. on $[0, T]$ if the process $\tilde{X}(t)=X(t \wedge T), t \geq 0$, is a continuous local martingale, semimartingale, etc. on the filtered probability space $\left(\Omega, \mathcal{F},\left(\mathcal{F}{t \wedge T}\right){t \geq 0}, P\right)$. In other words we extend the filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right)$ and the process $X$ to the interval $[0, \infty)$ by setting $\mathcal{F}{t}=\mathcal{F}_{T}$ and $X(t)=X(T)$, for all $t>T$.
Note that $\tilde{X}^{T}=\tilde{X}$. If $X$ is a continuous semimartingale, then the semimartingale decomposition $\tilde{X}=M+A$ of the extension $\tilde{X}$ satisfies $M=M^{T}$ and $A=A^{T}$, thus $d\langle M\rangle_{t}=d u_{\hat{X}}(t)=0$, for $t>T$.
We now set $L(X)=L(\bar{X})$ and $H \cdot X=H \cdot \bar{X}$, for all $H \in L(X)$. The integrands $H \in L(X)$ are processes defined on $[0, \infty)$ but their behaviour for $t>T$ is irrelevant, since $\tilde{X}=\tilde{X}^{T}$. In other words the stochastic differential $d X=d \tilde{X}$ satisfies $d X(t)=0$, for $t>T$ in the sense that
$$
\int_{0}^{t} H(s) d X(s)=(H \cdot \tilde{X}){t}=\left(H \cdot \tilde{X}^{T}\right){t}=(H \cdot \tilde{X}){t}^{T}=\int{0}^{t \wedge T} H(s) d X(s)
$$
For example, if $X=M$ is a scalar local martingale, then $L(X)=L_{\text {loc }}^{2}(M)$ is the space of all progressively measurable processes $H$ satisfying
$$
\int_{0}^{T} H_{s}^{2} d\langle M\rangle_{s}<\infty, \quad P \text {-as. }
$$
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6.c.0。让X,Σ,R是正实数和和标准正态变量。然后和[(X和Σ和−12Σ2−到和−R)+]=Xñ(d1)−到和−Rñ(d2)=和−R[Fñ(d1)−到ñ(d2)]， 在哪里F=X和R,d1=日志(F/到)+12Σ2Σ,d2=d1−Σ=日志(F/到)−12Σ2Σ和ñ(d)=磷(和≤d)是标准正态分布函数。
证明。放ü=X经验(Σ和−12Σ2)−到和−R. 然后ü>0当且仅当和>d=(ln(到/F)+12Σ2)/Σ.
因此
和[ü+]=和[ü;[ü>0]]=和[(X和Σ和−12Σ2−到和−R);[和>d]]
=一世1−一世2,在哪里
一世1=X和(和Σ和−12Σ2;[和>d])和一世2=和(到和−R;[和>d]).
回想起那个1−ñ(d)=ñ(−d)，因为标准法向密度的对称性。它遵循
一世2=到和−R磷(和>d)=到和−R(1−ñ(d))=到和−Rñ(−d)=到和−Rñ(d2)
此外，使用磷和(d和)=(2圆周率)−1/2经验(−和2/2)d和， 我们有
X−1一世1=∫d∞(2圆周率)−12经验(−和22+Σ和−12Σ2)d和=∫d∞(2圆周率)−12经验(−12(和−Σ)2)d和 =∫d−Σ∞(2圆周率)−12和−和2/2d和=(1−ñ(d−Σ))=ñ(Σ−d)=ñ(d1)
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6.e 具有有限时间范围的过程。在金融市场研究中，我们将确定一个有限的时间范围吨>0并考虑一个过滤的概率空间(Ω,F,(F吨)吨∈[0,吨],磷)和F=F吨和流程X=X(吨,ω):[0,吨]×Ω→R¯(Rd)在有限的时间间隔上定义[0,吨].
这样的过程X将被称为连续局部鞅、半鞅等[0,吨]如果过程X~(吨)=X(吨∧吨),吨≥0, 是滤波概率空间上的连续局部鞅、半鞅等(Ω,F,(F吨∧吨)吨≥0,磷). 换句话说，我们扩展了过滤(F吨)和过程X到区间[0,∞)通过设置F吨=F吨和X(吨)=X(吨)， 对所有人吨>吨.
注意X~吨=X~. 如果X是一个连续的半鞅，则半鞅分解X~=米+一种扩展名X~满足米=米吨和一种=一种吨， 因此d⟨米⟩吨=d你X^(吨)=0， 为了吨>吨.
我们现在设置一世(X)=一世(X¯)和H⋅X=H⋅X¯， 对所有人H∈一世(X). 被积函数H∈一世(X)是定义的过程[0,∞)但他们的行为吨>吨无关紧要，因为X~=X~吨. 换句话说，随机微分dX=dX~满足dX(吨)=0， 为了吨>吨在某种意义上说
∫0吨H(s)dX(s)=(H⋅X~)吨=(H⋅X~吨)吨=(H⋅X~)吨吨=∫0吨∧吨H(s)dX(s)
例如，如果X=米是标量局部鞅，则一世(X)=一世地方 2(米)是所有渐进式可测量过程的空间H令人满意的
∫0吨Hs2d⟨米⟩s<∞,磷-作为。
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