随机微积分（stochastic calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|Quadratic variation and L2-bounded martingales
9.c.0. Let $M$ be a continuous local martingale. Then the following are equivalent:
(a) $M$ is in $\mathbf{H}^{2}$.
(b) $M_{0} \in L^{2}$ and the process $\langle M\rangle$ is integrable, that is, $E\left[\langle M\rangle_{\infty}\right]<\infty$. In this case $M_{t}^{2}-\langle M\rangle_{t}$ is a uniformly integrable martingale. Proof. Choose a sequence $T_{n}$ of optional times such that $M(n)=1_{\left[T_{\mathrm{n}}>0\right]} M^{T_{n}}$ is a uniformly bounded martingale, for each $n \geq 1$, and $T_{n} \uparrow \infty, P$-as., as $n \uparrow \infty$. Then $Z_{t}=M(n){t}^{2}-\langle M(n)\rangle{t}$ is a martingale and thus has a constant mean. Noting that $\langle M(n)\rangle=1_{\left[T_{n}>0\right]}\langle M\rangle^{T_{n}}(9 . b .6 .(\mathrm{b}),(\mathrm{d}))$, the equality $E\left(Z_{t}\right)=E\left(Z_{0}\right)$ can be written as
$$
E\left[1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}\right]-E\left[1_{\left[T_{n}>0\right]}\langle M\rangle_{t \wedge T_{n}}\right]=E\left[1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{0}^{2}\right] .
$$
(a) $\Rightarrow$ (b) Let $M \in \mathbf{H}^{2}$. Then $M_{0} \in L^{2}$. In fact $M_{\infty}^{} \in L^{2}$. Since $\left(M_{\infty}^{}\right)^{2}$ dominates $1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}$, we can go first with $n \uparrow \infty$, to obtain $E\left[M_{t}^{2}\right]-E\left[\langle M\rangle_{t}\right]=E\left[M_{0}^{2}\right]$ and then with $t \uparrow \infty$, to obtain $E\left[M_{\infty}^{2}\right]-E\left[\langle M\rangle_{\infty}\right]=E\left[M_{0}^{2}\right]$ and thus
$$
E\left[\langle M\rangle_{\infty}\right]=E\left[M_{\infty}^{2}\right]-E\left[M_{0}^{2}\right]=|M|_{2}^{2}-\left|M_{0}\right|_{2}^{2}<\infty $$ (b) $\Rightarrow$ (a) Assume that (b) is satisfied and set $K=E\left[\langle M\rangle_{\infty}\right]+E\left[M_{0}^{2}\right]<\infty$. Then (0) implies $$ E\left[1_{\left[T_{\mathrm{n}}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}\right] \leq K .
$$
We have $E\left(M_{t}^{2}\right)=E\left[\liminf {n} 1{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}\right] \leq \liminf n E\left[1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}\right] \leq K$, for all $t \geq 0$, by Fatou’s Lemma, and it follows that the local martingale $M$ is $L^{2}$ bounded. It remains to be shown that $M$ is a martingale. Fix $0 \leq s0\right]} M_{t \wedge T_{n}} \mid \mathcal{F}{s}\right]=1{\left[T_{n}>0\right]} M_{s \wedge T_{n}} .
$$
Because of (1), the sequence $1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}$ is $L^{2}$-bounded, hence uniformly integrable. Moreover $1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}} \rightarrow M_{t}$ almost surely and hence also in $L^{1}$-norm (by uniform integrability). We can thus pass to the limit in the conditional expectation in (2) to obtain $E\left[M_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right]=M{s}, P$-as. (4.c.1). Finally to show that the process $M^{2}-\langle M\rangle$ is uniformly integrable it suffices to note that
$$
\sup {t \geq 0}\left|M{t}^{2}-\langle M\rangle_{t}\right| \leq\left(M_{\infty}^{*}\right)^{2}+\langle M\rangle_{\infty}
$$
where the right hand side is an integrable random variable.
In general the norm and inner product on $\mathbf{H}^{2}$ are given by
$$
|M|_{2}=\left|M_{\infty}\right|_{L^{2}} \quad \text { and } \quad(M, N){\mathbf{H}^{2}}=\left(M{\infty}, N_{\infty}\right){L^{2}}=E\left[M{\infty} N_{\infty}\right]
$$
However, on the subspace $\mathbf{H}_{0}^{2} \subseteq \mathbf{H}^{2}$, the norm can also be written as follows:
微积分作业代写calclulus代考|Quadratic variation andL1-bounded martingales
9.d.0 Lemma. Let $X, A$ be (adapted) continuous, nonnegative processes with $A$ nondecreasing. Set $X_{t}^{}=\sup {s \in[0, t]} X{s}$ and assume that $E\left(X_{\tau}\right) \leq E\left(A_{\tau}\right)$, for each bounded optional time $\tau$. Then
$$
E\left(\sqrt{X_{t}^{}}\right) \leq 3 E\left(\sqrt{A_{t}}\right), \quad t \geq 0 .
$$
Proof. Define $A_{\infty}=\sup {s \geq 0} A{s}$, let $u, t \geq 0$ and set $\sigma=\inf \left{s \mid X_{s} \geq u\right}$. If $\tau$ is any bounded optional time then $X_{\tau}^{} \geq u \Rightarrow \sigma \leq \tau$ and hence $X_{\tau \wedge \sigma}=X_{\sigma} \geq u$ on the set $B=\left[X_{\tau}^{} \geq u\right]$. Thus
$$
\begin{aligned}
P\left(X_{\tau}^{} \geq u\right) &=P(B) \leq u^{-1} E\left(X_{\tau \wedge \sigma} 1_{B}\right) \leq u^{-1} E\left(X_{\tau \wedge \sigma}\right) \ & \leq u^{-1} E\left(A_{\tau \wedge \sigma}\right) \leq u^{-1} E\left(A_{\tau}\right) \end{aligned} $$ Now set $\rho=\inf \left{s \mid A_{s} \geq u\right}$. If $A_{t}}=X_{t \wedge p}^{}$ on the set $\left[A_{t}} \geq u, A_{t}<u\right) \leq P\left(X_{t \wedge \rho}^{} \geq u\right) \leq u^{-1} E\left(A_{t \wedge \rho}\right) \leq u^{-1} E\left(u \wedge A_{t}\right), \quad \text { thus } \ P\left(X_{t}^{} \geq u\right) \leq P\left(X_{t}^{} \geq u, A_{t}}}\right) &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{u}} P\left(X_{t}^{*} \geq u\right) d u \
& \leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 u^{3 / 2}} E\left(u \wedge A_{t}\right) d u+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{u}} P\left(A_{t} \geq u\right) d u
\end{aligned}
$$
The second integral on the right is simply $E\left(\sqrt{A_{t}}\right)$. Using Fubini’s Theorem to interchange the integral and expectation, the first integral becomes
$$
\begin{aligned}
E\left(\int_{0}^{\infty} \frac{u \wedge A_{t}}{2 u^{3 / 2}} d u\right) &=E\left(\int_{0}^{A_{t}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u+A_{t} \int_{A_{t}}^{\infty} \frac{1}{2 u^{3 / 2}} d u\right) \
&=E\left(\sqrt{A_{t}}+A_{t} A_{t}^{-1 / 2}\right)=2 E\left(\sqrt{A_{t}}\right)
\end{aligned}
$$
Thus $(0)$ follows from $(2)$.
微积分作业代写calclulus代考|Quadratic variation and L2-bounded martingales
9.c.0。让米是一个连续的局部鞅。那么以下是等价的：
(a)米在H2.
(二)米0∈一世2和过程⟨米⟩是可积的，也就是说，和[⟨米⟩∞]<∞. 在这种情况下米吨2−⟨米⟩吨是一个一致可积的鞅。证明。选择一个序列吨n的可选时间，使得米(n)=1[吨n>0]米吨n是一致有界鞅，对于每个n≥1， 和吨n↑∞,磷-as.，作为n↑∞. 那么$Z_{t}=M(n) {t}^{2}-\langle M(n)\rangle {t}一世s一种米一种r吨一世nG一种一世和一种nd吨H你sH一种s一种C○ns吨一种n吨米和一种n.ñ○吨一世nG吨H一种吨\langle M(n)\rangle=1_{\left[T_{n}>0\right]}\langle M\rangle^{T_{n}}(9 . b .6 .(\mathrm{b}) ,(\mathrm{d})),吨H和和q你一种一世一世吨和E\left(Z_{t}\right)=E\left(Z_{0}\right)C一种nb和在r一世吨吨和n一种s和[1[吨n>0]米吨∧吨n2]−和[1[吨n>0]⟨米⟩吨∧吨n]=和[1[吨n>0]米02].(一种)\右箭头(b)一世和吨M \in \mathbf{H}^{2}.吨H和nM_{0} \in L^{2}.一世nF一种C吨M_{\infty}^{ } \in L^{2}.小号一世nC和\left(M_{\infty}^{ }\right)^{2}d○米一世n一种吨和s1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2},在和C一种nG○F一世rs吨在一世吨Hn \uparrow \infty,吨○○b吨一种一世nE\left[M_{t}^{2}\right]-E\left[\langle M\rangle_{t}\right]=E\left[M_{0}^{2}\right]一种nd吨H和n在一世吨Ht \uparrow \infty,吨○○b吨一种一世nE\left[M_{\infty}^{2}\right]-E\left[\langle M\rangle_{\infty}\right]=E\left[M_{0}^{2}\right]一种nd吨H你s和[⟨米⟩∞]=和[米∞2]−和[米02]=|米|22−|米0|22<∞(b)\右箭头(一种)一种ss你米和吨H一种吨(b)一世ss一种吨一世sF一世和d一种nds和吨K=E\left[\langle M\rangle_{\infty}\right]+E\left[M_{0}^{2}\right]<\infty.吨H和n(0)一世米p一世一世和s和[1[吨n>0]米吨∧吨n2]≤到.在和H一种v和E\left(M_{t}^{2}\right)=E\left[\liminf {n} 1 {\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}} ^{2}\right] \leq \liminf n E\left[1_{\left[T_{n}>0\right]} M_{t \wedge T_{n}}^{2}\right] \leq ķ,F○r一种一世一世t\geq 0,b和F一种吨○你′s一世和米米一种,一种nd一世吨F○一世一世○在s吨H一种吨吨H和一世○C一种一世米一种r吨一世nG一种一世和米一世sL^{2}b○你nd和d.一世吨r和米一种一世ns吨○b和sH○在n吨H一种吨米一世s一种米一种r吨一世nG一种一世和.F一世X0 \leq s0\right]} M_{t \wedge T_{n}} \mid \mathcal{F} {s}\right]=1 {\left[T_{n}>0\right]} M_{s \楔形 T_{n}} 。
$$
由于（1），序列1[吨n>0]米吨∧吨n2是一世2有界，因此是一致可积的。而且1[吨n>0]米吨∧吨n→米吨几乎可以肯定，因此也在一世1-norm（通过统一可积性）。因此，我们可以通过 (2) 中条件期望的极限得到 $E\left[M_{t} \mid \mathcal{F} {s}\right]=M {s}, P−一种s.(4.C.1).F一世n一种一世一世和吨○sH○在吨H一种吨吨H和pr○C和ssM^{2}-\langle M\rangle一世s你n一世F○r米一世和一世n吨和Gr一种b一世和一世吨s你FF一世C和s吨○n○吨和吨H一种吨$
\sup {t \geq 0}\left|M {t}^{2}-\langle M\rangle_{t}\right| \leq\left(M_{\infty}^{*}\right)^{2}+\langle M\rangle_{\infty}
在H和r和吨H和r一世GH吨H一种nds一世d和一世s一种n一世n吨和Gr一种b一世和r一种nd○米v一种r一世一种b一世和.一世nG和n和r一种一世吨H和n○r米一种nd一世nn和rpr○d你C吨○n$H2$一种r和G一世v和nb和
|M|_{2}=\left|M_{\infty}\right|_{L^{2}} \quad \text { and } \quad(M, N) {\mathbf{H}^{2 }}=\left(M {\infty}, N_{\infty}\right) {L^{2}}=E\left[M {\infty} N_{\infty}\right]
$$
但是，在子空间H02⊆H2，范数也可以写成：
微积分作业代写calclulus代考|Quadratic variation andL1-bounded martingales
9.d.0 引理。让X,一种是（适应的）连续的、非负的过程一种不减。设置 $X_{t}^{ }=\sup {s \in[0, t]} X{s}一种nd一种ss你米和吨H一种吨E\left(X_{\tau}\right) \leq E\left(A_{\tau}\right),F○r和一种CHb○你nd和d○p吨一世○n一种一世吨一世米和\您的.吨H和n$
E\left(\sqrt{X_{t}^{ }}\right) \leq 3 E\left(\sqrt{A_{t}}\right), \quad t \geq 0 。
$$
证明。定义 $A_{\infty}=\sup {s \geq 0} A {s},一世和吨你, t \geq 0一种nds和吨\sigma=\inf \left{s \mid X_{s} \geq u\right}.一世F\您的一世s一种n和b○你nd和d○p吨一世○n一种一世吨一世米和吨H和nX_tau\tau}^{ }\geq u\Rightarrow\sigma\leq\tau一种ndH和nC和X_tau\tau\wedge\sigma} = X_{\sigma}\geq u○n吨H和s和吨B=\left[X_{\tau}^{ } \geq u\right].吨H你s$
\begin{对齐}
P\left(X_{\tau}^{ } \geq u\right) &=P(B) \leq u^{-1} E\left(X_{\tau \wedge \sigma } 1_{B}\right) \leq u^{-1} E\left(X_{\tau \wedge \sigma}\right) \ & \leq u^{-1} E\left(A_{\tau \wedge \sigma}\right) \leq u^{-1} E\left(A_{\tau}\right) \end{aligned}现在设置 $\rho=\inf \left{s \mid A_{s} \geq u\right}$。如果 $A_{t}}=X_{t \wedge p}^{}$ 在集合 $\left[A_{t}} \geq u, A_{t}<u\right) \leq P\left( X_{t \wedge \rho}^{} \geq u\right) \leq u^{-1} E\left(A_{t \wedge \rho}\right) \leq u^{-1} E\ left(u \wedge A_{t}\right), \quad \text { 因此 } \ P\left(X_{t}^{} \geq u\right) \leq P\left(X_{t}^{ } \geq u, A_{t}}}\right) &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{u}} P\left(X_{t}^{* } \geq u\right) du \ & \leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 u^{3 / 2}} E\left(u \wedge A_{t}\right ) d u+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{u}} P\left(A_{t} \geq u\right) du \end{aligned}现在设置 $\rho=\inf \left{s \mid A_{s} \geq u\right}$。如果 $A_{t}}=X_{t \wedge p}^{}$ 在集合 $\left[A_{t}} \geq u, A_{t}<u\right) \leq P\left( X_{t \wedge \rho}^{} \geq u\right) \leq u^{-1} E\left(A_{t \wedge \rho}\right) \leq u^{-1} E\ left(u \wedge A_{t}\right), \quad \text { 因此 } \ P\left(X_{t}^{} \geq u\right) \leq P\left(X_{t}^{ } \geq u, A_{t}}}\right) &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{u}} P\left(X_{t}^{* } \geq u\right) du \ & \leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 u^{3 / 2}} E\left(u \wedge A_{t}\right ) d u+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{u}} P\left(A_{t} \geq u\right) du \end{aligned}
右边的第二个积分很简单和(一种吨). 使用 Fubini 定理交换积分和期望，第一个积分变为
和(∫0∞你∧一种吨2你3/2d你)=和(∫0一种吨12你d你+一种吨∫一种吨∞12你3/2d你) =和(一种吨+一种吨一种吨−1/2)=2和(一种吨)
因此(0)从(2).
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