随机微积分（stochastic calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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微积分作业代写calclulus代考|Definition and elementary properties
10. Let $X, Y$ be continuous local martingales. Then the product $X Y$ is not in general a local martingale. However, using the polarization identity
$$
X Y=\frac{1}{4}\left[(X+Y)^{2}-(X-Y)^{2}\right]
$$
we see that the process
$$
\langle X, Y\rangle:=\frac{1}{4}[\langle X+Y\rangle-\langle X-Y\rangle]
$$
is a continuous bounded variation process such that $\langle X, Y\rangle_{0}=0$ and the process $X Y-\langle X, Y\rangle$ is a local martingale. From 9.b.2 it follows that $\langle X, Y\rangle$ is the unique continuous bounded variation process with this property. Moreover, the product $X Y$ is a local martingale if and only if $\langle X, Y\rangle=0$. Note that $\langle X, X\rangle=\langle X\rangle$ is the quadratic variation process of $X$. Set
$$
Q_{\Delta}(X, Y)=\sum_{j=1}^{n}\left(X_{t_{j}}-X_{t_{j-1}}\right)\left(Y_{t_{j}}-Y_{t_{j-1}}\right),
$$
for each $t>0$ and each partition $\Delta=\left{0=t_{0}<\ldots<t_{n}=t\right}$ of the interval $[0, t]$. The polarization identity $(0)$ yields
$$
Q_{\Delta}(X, Y)=\frac{1}{4}\left[Q_{\Delta}(X+Y)-Q_{\Delta}(X-Y)\right]
$$
From 9.b.3 and 9.b.5 it now follows that
$$
Q_{\Delta}(X, Y) \rightarrow\langle X, Y\rangle_{t}, \text { in probability, as }|\Delta| \rightarrow 0 .
$$
Here the limit is taken over all partitions $\Delta$ of the interval $[0, t]$. If $X$ and $Y$ are uniformly bounded martingales, then the convergence is also in $L^{2}(P)$.
This limit representation shows that the covariation process $\langle X, Y\rangle$ is not affected if the filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right)$ is replaced with some other (right continuous and augmented) filtration $\left(\mathcal{G}{t}\right)$ with respect to which $X, Y$ are still local martingales. The covariation process $\langle X, Y\rangle$ is also unaffected if the probability measure $P$ is replaced with some absolutely continuous probability measure $Q<P$, with respect to which $X, Y$ are still local martingales. This follows from the fact that convergence in $P$-probability implies convergence in $Q$-probability.
The bracket $\langle X, Y\rangle$ has many properties of an inner product: it is symmetric, bilinear and nonnegative and even satisifies $\langle X\rangle=0 \Rightarrow X=0$, if we restrict ourselves to processes $X$ with $X_{0}=0$. The bilinearity of $\langle X, Y\rangle$ is easily established from the universal property. For example $(\alpha X) Y-\alpha\langle X, Y\rangle=\alpha(X Y-\langle X, Y\rangle)$ is a local martingale. Since the process $\alpha\langle X, Y\rangle$ is a continuous bounded variation process vanishing at time zero and $\langle\alpha X, Y\rangle$ is the unique continuous bounded variation process $A$ vanishing at time zero such that $(\alpha X) Y-A$ is a local martingale, it follows that $\alpha\langle X, Y\rangle=\langle\alpha X, Y\rangle$.
微积分作业代写calclulus代考|Kunita-Watanabe inequality
10.c.1. For $P$-ae. $\omega \in \Omega$ we have $\left|\mu_{\omega}\right|(A) \leq \nu_{\omega}(A)^{1 / 2} \sigma_{\omega}(A)^{1 / 2}$, for all Borel sets $A \subseteq[0, t]$.
Proof. Since the measures $\left|\mu_{\omega}\right|, \nu_{\omega}, \sigma_{\omega}$ all vanish on singletons, it will suffice to establish the claim for all Borel sets $A \subseteq[0, t)$. Let $\omega \in \Omega$ be such that $10 . c .1$ holds for all intervals $[a, b] \subseteq[0, t]$.
The family $\mathcal{G}$ of all finite disjoint unions of intervals of the form $[a, b) \subseteq[0, t)$ is a field of sets which generates the Borel- $\sigma$-field on $[0, t)$. If $A \subseteq[0, t)$ a Borel set then, according to appendix B.9.0, there exists a sequence of sets $A_{n} \in \mathcal{G}$ such that $\left(\left|\mu_{\omega}\right|+\nu_{\omega}+\sigma_{\omega}\right)\left(A \Delta A_{n}\right) \rightarrow 0$ and consequently
$$
\left|\mu_{\omega}\right|\left(A_{n}\right) \rightarrow\left|\mu_{\omega}\right|(A), \nu_{\omega}\left(A_{n}\right) \rightarrow \nu_{\omega}(A) \text { and } \sigma_{\omega}\left(A_{n}\right) \rightarrow \sigma_{\omega}(A), \quad \text { as } n \uparrow \infty .
$$
It will thus suffice to establish the claim for all sets $A \in \mathcal{G}$. Indeed, if $A=\left[a_{1}, b_{1}\right) \cup$ $\left[a_{2}, b_{2}\right) \cup \ldots \cup\left[a_{n}, b_{n}\right)$, where $0 \leq a_{1}<b_{1} \leq a_{2}<b_{2} \leq \ldots \leq a_{n}<b_{n}$, then, using 10.c.1 and the Cauchy-Schwartz inequality,
$$
\begin{aligned}
\left|\mu_{\omega}\right|(A) &=\sum\left|\mu_{\omega}\right|\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right) \leq \sum \nu_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)^{1 / 2} \sigma_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)^{1 / 2} \
& \leq\left{\sum \nu_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)\right}^{1 / 2}\left{\sum \sigma_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)\right}^{1 / 2}=\nu_{\omega}(A)^{1 / 2} \sigma_{\omega}(A)^{1 / 2} . \mid
\end{aligned}
$$
10.c.2. For $P$-ae. $\omega \in \Omega$ we have
$$
\int_{0}^{t} f g d\left|\mu_{\omega}\right| \leq\left{\int_{0}^{t} f^{2} d \nu_{\omega}\right}^{1 / 2}\left{\int_{0}^{t} g^{2} d \sigma_{\omega}\right}^{1 / 2},
$$
for all nonnegative Borel measurable functions $f, g:[0, t] \rightarrow \bar{R}$.
Proof. Let $\omega \in \Omega$ be such that $10 . c .2$ holds for all Borel sets $A \subseteq[0, t]$. It will suffice to establish the claim for Borel measurable simple functions $f, g$. Such $f, g$ can be written as
$$
f=\sum \alpha_{j} 1_{A_{j}} \quad \text { and } \quad g=\sum \beta_{j} 1_{A_{j}},
$$
where $\mathcal{P}=\left{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\right}$ is a Borel measurable partition of $[0, t]$. Then
$$
f^{2}=\sum \alpha_{j}^{2} 1_{A_{j}}, \quad g^{2}=\sum \beta_{j}^{2} 1_{A_{j}} \quad \text { and } \quad f g=\sum \alpha_{j} \beta_{j} 1_{A_{j}} .
$$
Thus, using 10.c.2 and the Cauchy-Schwartz inequality,
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{t} f g d\left|\mu_{\omega}\right| &=\sum \alpha_{j} \beta_{j}\left|\mu_{\omega}\right|\left(A_{j}\right) \leq \sum \alpha_{j} \beta_{j} \nu_{\omega}\left(A_{j}\right)^{1 / 2} \sigma_{\omega}\left(A_{j}\right)^{1 / 2} \
& \leq\left{\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{2} \nu_{\omega}\left(A_{j}\right)\right}^{1 / 2}\left{\sum_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2} \sigma_{\omega}\left(A_{j}\right)\right}^{1 / 2} \
&=\left{\int_{0}^{t} f^{2} d \nu_{\omega}\right}^{1 / 2}\left{\int_{0}^{t} g^{2} d \sigma_{\omega}\right}^{1 / 2} . \mathbf{I}
\end{aligned}
$$
微积分作业代写calclulus代考|Definition and elementary properties
10.让X,和是连续的局部鞅。那么产品X和一般不是局部鞅。然而，使用极化恒等式
X和=14[(X+和)2−(X−和)2]
我们看到这个过程
⟨X,和⟩:=14[⟨X+和⟩−⟨X−和⟩]
是一个连续的有界变化过程，使得⟨X,和⟩0=0和过程X和−⟨X,和⟩是局部鞅。从 9.b.2 可以看出⟨X,和⟩是具有此性质的唯一连续有界变化过程。此外，该产品X和是局部鞅当且仅当⟨X,和⟩=0. 注意⟨X,X⟩=⟨X⟩是二次变分过程X. 放
问Δ(X,和)=∑j=1n(X吨j−X吨j−1)(和吨j−和吨j−1),
对于每个吨>0和每个分区\Delta=\left{0=t_{0}<\ldots<t_{n}=t\right}\Delta=\left{0=t_{0}<\ldots<t_{n}=t\right}区间的[0,吨]. 极化同一性(0)产量
问Δ(X,和)=14[问Δ(X+和)−问Δ(X−和)]
从 9.b.3 和 9.b.5 现在遵循
问Δ(X,和)→⟨X,和⟩吨, 在概率上，如 |Δ|→0.
这里的限制是接管所有分区Δ区间的[0,吨]. 如果X和和是一致有界鞅，则收敛也在一世2(磷).
这个极限表示表明协变过程⟨X,和⟩如果过滤 $\left(\mathcal{F} {t}\right)不受影响一世sr和p一世一种C和d在一世吨Hs○米和○吨H和r(r一世GH吨C○n吨一世n你○你s一种nd一种你G米和n吨和d)F一世一世吨r一种吨一世○n\left(\mathcal{G} {t}\right)在一世吨Hr和sp和C吨吨○在H一世CHx-y一种r和s吨一世一世一世一世○C一种一世米一种r吨一世nG一种一世和s.吨H和C○v一种r一世一种吨一世○npr○C和ss\langle X, Y\langle一世s一种一世s○你n一种FF和C吨和d一世F吨H和pr○b一种b一世一世一世吨和米和一种s你r和磷一世sr和p一世一种C和d在一世吨Hs○米和一种bs○一世你吨和一世和C○n吨一世n你○你spr○b一种b一世一世一世吨和米和一种s你r和Q<P,在一世吨Hr和sp和C吨吨○在H一世CHx-y一种r和s吨一世一世一世一世○C一种一世米一种r吨一世nG一种一世和s.吨H一世sF○一世一世○在sFr○米吨H和F一种C吨吨H一种吨C○nv和rG和nC和一世n磷−pr○b一种b一世一世一世吨和一世米p一世一世和sC○nv和rG和nC和一世nQ$-概率。
支架⟨X,和⟩具有内积的许多性质：它是对称的、双线性的和非负的，甚至满足⟨X⟩=0⇒X=0, 如果我们将自己限制在进程中X和X0=0. 双线性⟨X,和⟩很容易从普遍属性中建立。例如(一种X)和−一种⟨X,和⟩=一种(X和−⟨X,和⟩)是局部鞅。由于过程一种⟨X,和⟩是一个在零时间消失的连续有界变化过程，并且⟨一种X,和⟩是唯一的连续有界变分过程一种在零时间消失，使得(一种X)和−一种是局部鞅，因此一种⟨X,和⟩=⟨一种X,和⟩.
微积分作业代写calclulus代考|Kunita-Watanabe inequality
10.c.1。为了磷-ae。ω∈Ω我们有|μω|(一种)≤νω(一种)1/2σω(一种)1/2, 对于所有 Borel 集一种⊆[0,吨].
证明。由于措施|μω|,νω,σω所有在单例上都消失，就足以建立所有 Borel 集的声明一种⊆[0,吨). 让ω∈Ω是这样的10.C.1适用于所有间隔[一种,b]⊆[0,吨].
家庭G形式区间的所有有限不相交并集[一种,b)⊆[0,吨)是生成 Borel- 的集合域σ- 场上[0,吨). 如果一种⊆[0,吨)一个 Borel 集 那么，根据附录 B.9.0，存在一个集合序列一种n∈G这样(|μω|+νω+σω)(一种Δ一种n)→0因此
|μω|(一种n)→|μω|(一种),νω(一种n)→νω(一种) 和 σω(一种n)→σω(一种), 作为 n↑∞.
因此，为所有集合建立声明就足够了一种∈G. 确实，如果一种=[一种1,b1)∪ [一种2,b2)∪…∪[一种n,bn)， 在哪里0≤一种1<b1≤一种2<b2≤…≤一种n<bn，然后，使用 10.c.1 和 Cauchy-Schwartz 不等式，
\begin{对齐} \left|\mu_{\omega}\right|(A) &=\sum\left|\mu_{\omega}\right|\left(\left[a_{j}, b_{j }\right)\right) \leq \sum \nu_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)^{1 / 2} \sigma_{\omega} \left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)^{1 / 2} \ & \leq\left{\sum \nu_{\omega}\left(\left[a_{ j}, b_{j}\right)\right)\right}^{1 / 2}\left{\sum \sigma_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right )\right)\right}^{1 / 2}=\nu_{\omega}(A)^{1 / 2} \sigma_{\omega}(A)^{1 / 2} 。\mid \end{对齐}\begin{对齐} \left|\mu_{\omega}\right|(A) &=\sum\left|\mu_{\omega}\right|\left(\left[a_{j}, b_{j }\right)\right) \leq \sum \nu_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)^{1 / 2} \sigma_{\omega} \left(\left[a_{j}, b_{j}\right)\right)^{1 / 2} \ & \leq\left{\sum \nu_{\omega}\left(\left[a_{ j}, b_{j}\right)\right)\right}^{1 / 2}\left{\sum \sigma_{\omega}\left(\left[a_{j}, b_{j}\right )\right)\right}^{1 / 2}=\nu_{\omega}(A)^{1 / 2} \sigma_{\omega}(A)^{1 / 2} 。\mid \end{对齐}
10.c.2。为了磷-ae。ω∈Ω我们有
\int_{0}^{t} f g d\left|\mu_{\omega}\right| \leq\left{\int_{0}^{t} f^{2} d \nu_{\omega}\right}^{1 / 2}\left{\int_{0}^{t} g^{ 2} d \sigma_{\omega}\right}^{1 / 2},\int_{0}^{t} f g d\left|\mu_{\omega}\right| \leq\left{\int_{0}^{t} f^{2} d \nu_{\omega}\right}^{1 / 2}\left{\int_{0}^{t} g^{ 2} d \sigma_{\omega}\right}^{1 / 2},
对于所有非负 Borel 可测函数F,G:[0,吨]→R¯.
证明。让ω∈Ω是这样的10.C.2适用于所有 Borel 集一种⊆[0,吨]. 建立 Borel 可测量简单函数的声明就足够了F,G. 这样的F,G可以写成
F=∑一种j1一种j 和 G=∑bj1一种j,
在哪里\mathcal{P}=\left{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\right}\mathcal{P}=\left{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\right}是一个 Borel 可测分区[0,吨]. 然后
F2=∑一种j21一种j,G2=∑bj21一种j 和 FG=∑一种jbj1一种j.
因此，使用 10.c.2 和 Cauchy-Schwartz 不等式，
\begin{对齐} \int_{0}^{t} f g d\left|\mu_{\omega}\right| &=\sum \alpha_{j} \beta_{j}\left|\mu_{\omega}\right|\left(A_{j}\right) \leq \sum \alpha_{j} \beta_{j} \nu_{\omega}\left(A_{j}\right)^{1 / 2} \sigma_{\omega}\left(A_{j}\right)^{1 / 2} \ & \leq\left {\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{2} \nu_{\omega}\left(A_{j}\right)\right}^{1 / 2}\left{\ sum_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2} \sigma_{\omega}\left(A_{j}\right)\right}^{1 / 2} \ &=\left{ \int_{0}^{t} f^{2} d \nu_{\omega}\right}^{1 / 2}\left{\int_{0}^{t} g^{2} d \sigma_ {\omega}\right}^{1 / 2} 。\mathbf{I} \end{对齐}\begin{对齐} \int_{0}^{t} f g d\left|\mu_{\omega}\right| &=\sum \alpha_{j} \beta_{j}\left|\mu_{\omega}\right|\left(A_{j}\right) \leq \sum \alpha_{j} \beta_{j} \nu_{\omega}\left(A_{j}\right)^{1 / 2} \sigma_{\omega}\left(A_{j}\right)^{1 / 2} \ & \leq\left {\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{2} \nu_{\omega}\left(A_{j}\right)\right}^{1 / 2}\left{\ sum_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2} \sigma_{\omega}\left(A_{j}\right)\right}^{1 / 2} \ &=\left{ \int_{0}^{t} f^{2} d \nu_{\omega}\right}^{1 / 2}\left{\int_{0}^{t} g^{2} d \sigma_ {\omega}\right}^{1 / 2} 。\mathbf{I} \end{对齐}
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