这是Calculus-do™的微积分note中关于Cross product or vector product的部分

微积分是对变化事物的数学研究：汽车加速，行星绕太阳运动，经济波动。为了研究这些变化的数量，一套新的工具–微积分–在17世纪被开发出来，永远改变了数学和科学的进程。

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• 流形上的微积分
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Cross product or vector product

we ofter need $t_{2}$ Find a vector that is particular to each of two vector $\vec{A}$ and $\vec{B}$. in space $s$ in routineway of doing this is proveded by the cross product $\vec{A} \times \vec{B}$ of vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$.
The cross product of jectors $A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right.$ and $B=\left(L_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ is defined algeberically $\vec{A}+\vec{B}=\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & \vec{j} & \vec{k} \ b_{1} & b_{2} & a_{3}\end{array}\right|$
$$
\vec{A} \times \vec{B}=\left(a b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)
$$
Example:
$$
=\hat{i}(3-4)+\hat{j}(-9-4)+\hat{k}(6+2)
$$

properties of cross product:

Let $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ be three vectors then
(i) $\vec{A} \times \vec{A}=0$
(ii) $\quad \vec{A}+\vec{B}=-(\vec{B} \times \vec{A})$
(iii) $\vec{A} \times 0=0 \times \vec{A}=0$
(iv) $A \times(B+C)=(A \times B)+(A \times C)$
(v) $\quad \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0$
(vi) $\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \quad \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}$
$-\hat{j} \times \hat{i}=\hat{k} \quad \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i} \quad \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}$
vii) $a \times b=a \times c \neq b=c$

Remark:

two nonzer vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$ are parallel if and only If $\vec{A} \times \vec{B}=0$.
The cross product is zero when vectors ax parallel and cross product is one when vectors are $\perp$.

叉积或向量积

我们经常需要 $t_{2}$ 找到两个向量中的每一个都特定的向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$. 在太空 $s$ 在常规方法中，
叉积证明了这一点 $\vec{A} \times \vec{B}$ 向量的 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$.
喷射器的叉积 $A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right.$ 和 $B=\left(L_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ 被代数定义
$\vec{A}+\vec{B}=\left|\begin{array}{lllll}a_{1} & \vec{j} & \vec{k} b_{1} & b_{2} & a_{3}\end{array}\right|$
$$
\vec{A} \times \vec{B}=\left(a b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)
$$
例子:
$$
=\hat{i}(3-4)+\hat{j}(-9-4)+\hat{k}(6+2)
$$

叉积的性质：

让 $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ 是三个向量然后
(i) $\vec{A} \times \vec{A}=0$
(二) $\vec{A}+\vec{B}=-(\vec{B} \times \vec{A})$
$\Leftrightarrow \vec{A} \times 0=0 \times \vec{A}=0$
(四) $A \times(B+C)=(A \times B)+(A \times C)$
(在) $\quad \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0$
(我们) $\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \quad \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}$
$-\hat{j} \times \hat{i}=\hat{k} \quad \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i} \quad \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}$
七) $a \times b=a \times c \neq b=c$

注记

两个 nonzer 向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 当且仅当如果 $\vec{A} \times \vec{B}=0$.
当向量平行时叉积为零，当向量平行时叉积为 $-\perp$.

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