简单的说，学好微积分（数学分析）是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单，但是不转变，贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候，我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音，还喜欢学各种解题技巧，这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况，对于同学们来说，完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说，在自身英语说存在局限的情况下，当数学基础较为薄弱时，微积分作业的难度一下子就提升了，很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰，我们不仅会帮大家完成作业，还提供相应的数学知识辅导课程，以此来提高同学们学习能力。

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|Newton’s Original Integral

Integration as it was originally conceived of by Newton is the process inverse to differentiation. Such a process, he saw, would have numerous applications in geometry and physics.

In modern language we can describe the situation this way. His language was different but this is essentially how he viewed this process.

Definition $1.1$ (Original Newton Integral). Suppose that $f$ is a function defined on an interval $(a, b)$ and that we can find a continuous function $F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ so that
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { for every } x \text { with } a<x<b .
$$
Then we will say that $F$ is an indefinite integral of $f$ on $[a, b]$ and we will write
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)
$$
and call the latter the definite integral of $f$ on $[a, b]$.

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|Beyond the original Newton integral

The key technical fact that allows the descriptive definition just given for the Newton integral to work can be expressed as follows:

LEMMA 1.2. If $F$ and $G$ are both continuous functions on an interval $[a, b]$ and if $F^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)$ for all $a<x<b$ then
$$
F(b)-F(a)=G(b)-G(a) .
$$

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|An extension of the Newton integral

DEFinition $1.4$ (Modified Newton Integral). Suppose that $f$ is a function defined on an interval $(a, b)$ except possibly at finitely many points. Suppose that we can find a continuous function $F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ so that $F^{\prime}(x)=f(x)$ for every $x$ with $a<x<b$ with perhaps finitely many exceptions. Then we will say that $F$ is an indefinite integral of $f$ on $[a, b]$ and we will write
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)
$$
and call the latter the definite integral of $f$ on $[a, b]$.
Note that the definition does not require of the function being integrated that it be defined at every point of the interval $(a, b)$. For example we could ask whether the following integral exists:
$$
\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{|x-1|} \sqrt{|x-2|} \sqrt{|x-3|} \sqrt{|x-4|}} d x .
$$
(Warning: don’t try this one yet!) Most older calculus texts would have trouble with this and might insist that the interval $(a, b)$ not include any of the points 1 , 2,3 , or 4 .

Sometimes they would allow this but require that some particular values be preassigned at the exceptional points (even though they would later turn out to be irrelevant).

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|Newton’s Original Integral

牛顿最初设想的积分是与微分相反的过程。他看到，这样的过程将在几何和物理学中有 许多应用。
在现代语言中，我们可以这样描述这种情况。他的语言不同，但这本质上是他看待这个 过程的方式。
定义1.1 (原始牛顿积分) 。假设 $f$ 是在区间上定义的函数 $(a, b)$ 并且我们可以找到一个 连续函数 $F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 以便
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { for every } x \text { with } a<x<b .
$$
然后我们会说 $F$ 是一个不定积分 $f$ 上 $[a, b]$ 我们会写
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)
$$
并称后者为定积分 $f$ 上 $[a, b]$.

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|Beyond the original Newton integral

允许刚刚给出的牛顿积分的描述性定义起作用的关键技术事实可以表示如下:
引理 1.2。如果 $F$ 和 $G$ 都是区间上的连续函数 $[a, b]$ 而如果 $F^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)$ 对所有人 $a<x<b$ 然后
$$
F(b)-F(a)=G(b)-G(a) .
$$

微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|An extension of the Newton integral

(修正牛顿积分) 。假设 $f$ 是在区间上定义的函数 $(a, b)$ 除了可能在有限的许多 点上。假设我们可以找到一个连续函数 $F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 以便 $F^{\prime}(x)=f(x)$ 对于每个 $x$ 和 $a<x<b$ 可能有很多例外。然后我们会说 $F$ 是一个不定积分 $f$ 上 $[a, b]$ 我们会写
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)
$$
并称后者为定积分 $f$ 上 $[a, b]$.
请注意，该定义不需要集成的函数在间隔的每个点都定义 $(a, b)$. 例如，我们可以胉问是 否存在以下积分:
$$
\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{|x-1|} \sqrt{|x-2|} \sqrt{|x-3|} \sqrt{|x-4|}} d x .
$$
(警告: 不要尝试这个!) 大多数较旧的微积分课本都会遇到这个问题，并且可能会坚 持认为间隔 $(a, b)$ 不包括任何点 $1 、 2,3$ 或 4 。
有时他们会允许这样做，但要求在异常点预先分配一些特定的值（即使它们后来被证明 是不相关的）。

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