微积分网课代修|微分学代写Differential calculus代考|MTH295 The definition of limit

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

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  • 单变量微积分
  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
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微积分网课代修|微分学代写Differential calculus代考|The definition of limit

Calculus, in large part, is the study of how to properly handle infinity.
Example 1.3.1: something from nothing?
Let’s examine this seemingly legitimate computation:
That’s impossible! What, $0=1$ ? How did this happen?
Consider a little story below:

The numbers refer to the amount of soil taken out, and one can say that we got something from nothing!
Our mistake was to be too casual about carrying out infinitely many algebraic operations.

Which of the ” $=”$ signs above is incorrect? Hint: Think of this computation as a process.
The question has been:
-With this sequence, what number do its values approach?
We can also turn this around:
With this number, the values of what sequence approach it?

So, the limit is a number and the sequence approximates this number:
$\begin{array}{lllllllll}\text { (1) } & \text { The sequence } & 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & \ldots & \text { approximates } 0 . \ \text { (2) } \text { The sequence } & .9 & .99 & .999 & .9999 & 99999 & \ldots & \text { approximates } 1 . \ \text { (3) The sequence } & 1 . & 1.1 & 1.01 & 1.001 & 1.0001 & \ldots & \text { approximates } 1 . \ \text { (4) } & \text { The sequence } & 3 . & 3.1 & 3.14 & 3.141 & 3.1415 & \ldots & \text { approximates } \pi . \ \text { (5) } & \text { The sequence } & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & \text { approaches } \infty . \ \text { (6) } & \text { The sequence } & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & \text { doesn’t approximate any number. }\end{array}$
So, we can substit ute the sequence for the number it approximates and do it with any degree of accuracy!
We use the following notation for the limit of a sequence:
Limit of sequence
$$
a_{n} \rightarrow a
$$
We can rewrite the above:
\begin{tabular}{llllllll|l}
list & \multicolumn{10}{c|}{} & & & & \
\hline$(1)$ & 1 & $1 / 2$ & $1 / 3$ & $1 / 4$ & $1 / 5$ & $\ldots$ & $\rightarrow 0$ & $1 / n \rightarrow 0$ \
$(2)$ & $.9$ & $.99$ & $.999$ & 9999 & 99999 & $\ldots$ & $\rightarrow 1$ & $1-10^{-n} \rightarrow 1$ \
$(3)$ & $1 .$ & $1.1$ & $1.01$ & $1.001$ & $1.0001$ & $\ldots$ & $\rightarrow 1$ & $1+10^{-n} \rightarrow 1$ \
$(4)$ & $3 .$ & $3.1$ & $3.14$ & $3.141$ & $3.1415$ & $\ldots$ & $\rightarrow \pi$ & \
$(5)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\ldots$ & $\rightarrow+\infty$ & $n \rightarrow+\infty$ \
$(6)$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & $\ldots$ & $\rightarrow$ nothing &
\end{tabular}
Now, let’s find the exact meaning of limit.

微积分网课代修|微分学代写Differential calculus代考|Limits under algebraic operations

If every real number is the sequence of its approximations, does the usual arit hmet ic operations with numbers match those with the corresponding sequences? Yes. We will discover the following:
Limits behave well with respect to algebra.
For simplicity, we assume below that all the sequences are defined on the same set of integers.
Ex ample 1.4.1: algebra of sequences
What do we mean by adding, multiplying, etc. two sequences? Just as with functions, we add, multiply, etc. term-wise:
\begin{tabular}{lllllll}
$n$ & 1 & 2 & 3 & $\ldots$ & $n$ & $\ldots$ \
\hline$a_{n}$ & 1 & $1 / 2$ & $1 / 3$ & $\ldots$ & $1 / n$ & $\ldots$ \
$b_{n}$ & $-1$ & 1 & $-1$ & $\ldots$ & $(-1)^{n}$ & $\ldots$ \
\hline$a_{n}+b_{n}$ & $1-1$ & $1 / 2+1$ & $1 / 3-1$ & $\ldots$ & $1 / n+(-1)^{n}$ & $\ldots$ \
$a_{n} \cdot b_{n}$ & $1 \cdot 1$ & $1 / 2 \cdot 1$ & $1 / 3 \cdot(-1)$ & $\ldots$ & $1 / n \cdot(-1)^{n}$ & $\ldots$
\end{tabular}
Of course, we really need only the $n$th column.

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微积分在很大程度上是研究如何正确处理无穷大。
示例 1.3.1: 从无到有?
让我们检查一下这个看似合法的计算:
这是不可能的! 什么, $0=1$ ? 这怎么发生的?
考虑下面的一个小故事:
数字指的是挖出的土量,可以说是白手起家!
我们的错误是过于随意地执行无限多的代数运算。
哪一个”=”上面的标志不正确? 提示:将此计算视为一个过程。
问题是:

对于这个序列,它的值接近多少?
我们也可以把这个转过来:
有了这个数,取什么序列的值吡?
所以,极限是一个数字,序列近似于这个数字:
(1) The sequence $1 \quad 1 / 2 \quad 1 / 3 \quad 1 / 4 \quad 1 / 5 \quad \ldots \quad$ approximates 0 . (2) The sequen 所以,我们可以用序列代替它近似的数字,并以任何程度的准确度来做!
我们使用以下符号表示序列的
极限: 序列的极限
$$
a_{n} \rightarrow a
$$
我们可以重写上面的:
$\backslash$ begin ${\operatorname{tabular}}{11|I I I|||}$ list $\& \backslash$ multicolumn ${10}{\mathrm{c} \mid}} \& \& \& \& \backslash \backslash \mathrm{hline} \$(1) \$ \& 1 \& \$ 1 / 2 \$ \& \$ 1 / 3 \$ \& \$ 1 / 4 \$ \& \$ 1 / 5 \$ \& \$$
现在,让我们找出极限的确切含义。


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如果每个实数都是其近似值的序列,那么通常对数字的数学运算是否与对应序列的运算
相匹配? 是的。我们将发现以下内容:
极限在代数方面表现良好。
为简单起见,我们在下面假设所有序列都定义在同一组整数上。
示例 1.4.1: 序列代数
两个序列相加、相乘等是什么意思? 就像函数一样,我们按术语进行加法、乘法等:
$\backslash$ begin $\left{\right.$ tabular ${I I I I I I I} \$ N \$ 1 \& 2 \& 3 \& \$ \backslash$ dots $\$ \& \$ n \$ \& \$ \mid$ dots $\$ \backslash \backslash$ hline $\$ a_{-}{n} \$ \& 1 \& \$ 1 / 2 \$ \& \$ 1 / 3 \$ \& \$ \backslash$ dots $\$ 8$
当然,我们真的只需要 $n$ 第列。

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