微积分网课代修|函数代写Function theory代考|ISC5473 Conformality and Invariance

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|ISC5473  Conformality and Invariance

简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

我们提供的econ代写服务范围广, 其中包括但不限于:

  • 单变量微积分
  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
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微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Conformality and Invariance

Conformal mappings are characterized by the fact that they infinitesimally (i) preserve angles, and (ii) preserve length (up to a scalar factor). It is worthwhile to picture the matter in the following manner: Let $f$ be holomorphic on the open set $U \subseteq \mathbb{C}$. Fix a point $P \in U$. Write $f=u+i v$ as usual. Thus we may write the mapping $f$ as $(x, y) \mapsto(u, v)$. Then the (real) Jacobian matrix of the mapping is

$$
J(P)=\left(\begin{array}{ll}
u_{x}(P) & u_{y}(P) \
v_{x}(P) & v_{y}(P)
\end{array}\right)
$$
where subscripts denote derivatives. We may use the Cauchy-Riemann equations to rewrite this matrix as
$$
J(P)=\left(\begin{array}{cc}
u_{x}(P) & u_{y}(P) \
-u_{y}(P) & u_{x}(P)
\end{array}\right)
$$
Factoring out a numerical coefficient, we finally write this two-dimensional derivative as
$$
\begin{aligned}
J(P) &=\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}} \cdot\left(\begin{array}{ll}
\frac{u_{x}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}} & \frac{u_{y}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}} \
\frac{-u_{y}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}} & \frac{u_{x}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}}
\end{array}\right) \
& \equiv h(P) \cdot \mathcal{J}(P) .
\end{aligned}
$$

(i) All rotations $\rho_{\lambda}: z \mapsto e^{i \lambda} \cdot z, 0 \leq \lambda<2 \pi$;
(ii) All Möbius transformations $\varphi_{a}: z \mapsto[z-a] /[1-\bar{a} z]$, $a \in \mathbb{C},|a|<1$
(iii) All compositions of mappings of type (i) and (ii).

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Bergman’s Construction

Stefan Bergman created a device for equipping virtually any planar domain with an invariant metric that is analogous to the Poincaré metric on the disk. ${ }^{1}$ Some tracts call this new metric the Poincaré-Bergman metric, though it is more commonly called just the Bergman metric. In order to construct the Bergman metric we must first construct the Bergman kernel. For that we need just a little Hilbert space theory (see [RUD2], for example).

A domain in $\mathbb{C}$ is a connected open set. Fix a domain $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, and define
$$
A^{2}(\Omega)=\left{f \text { holomorphic on } \Omega: \int_{\Omega}|f(z)|^{2} d A(z)<\infty\right} \subseteq L^{2}(\Omega) .
$$
Here $d A$ is an ordinary two-dimensional area measure. Of course $A^{2}(\Omega)$ is a complex linear space, called the Bergman space. The norm on $A^{2}(\Omega)$ is given by
$$
|f|_{A^{2}(\Omega)}=\left[\int_{\Omega}|f(z)|^{2} d A(z)\right]^{1 / 2}
$$
We define an inner product on $A^{2}(\Omega)$ by
$$
\langle f, g\rangle=\int_{\Omega} f(z) \overline{g(z)} d A(z) .
$$
The next technical lemma will be the key to our analysis of the space $A^{2}$.

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共形映射的特征在于它们无限地 (i) 保持角度,以及 (ii) 保持长度(最多为标量因子)。
值得用以下方式来描述这个问题: 让 $f$ 在开集上是全纯的 $U \subseteq \mathbb{C}$. 固定一个点 $P \in U$.
写 $f=u+i v$ 岹常。因此我们可以写出映射 $f$ 作为 $(x, y) \mapsto(u, v)$. 那么映射的
(实) 雅可比矩阵是
$$
J(P)=\left(u_{x}(P) \quad u_{y}(P) v_{x}(P) \quad v_{y}(P)\right)
$$
其中下标表示导数。我们可以使用 Cauchy-Riemann 方程将这个矩阵重写为
$$
J(P)=\left(u_{x}(P) \quad u_{y}(P)-u_{y}(P) \quad u_{x}(P)\right)
$$
分解出一个数值系数,我们最终将这个二维导数写为
$$
J(P)=\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}} \cdot\left(\frac{u_{x}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}} \quad \frac{u_{y}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}} \frac{-u_{y}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(P)^{2}}} \frac{u_{x}(P)}{\sqrt{u_{x}(P)^{2}+u_{y}(F}}\right.
$$
(i) 所有轮换 $\rho_{\lambda}: z \mapsto e^{i \lambda} \cdot z, 0 \leq \lambda<2 \pi$;
(ii) 所有莫比乌斯变换 $\varphi_{a}: z \mapsto[z-a] /[1-\bar{a} z], a \in \mathbb{C},|a|<1$
(iii) (i) 和 (ii) 类型映射的所有组合。


微积分网课代修偏微分方程代写Partial Differential Equation代
考|Bergman’s Construction


Stefan Bergman 创建了一种设备,用于为几平任何平面域配备一个不变的度量,该度
量类似于磁盘上的 Poincaré 度量。 一些小册子将此新度量称为 Poincaré-Bergman
度量,尽管它更常被称为 Bergman 度量。为了构造伯格曼度量,我们必须首先构造伯
格曼核。为此,我们只需要一点希尔伯特空间理论 (例如,参见 [RUD2])。
一个域在 $\mathbb{C}$ 是连通开集。修复域 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ ,并定义
这里 $d A$ 是一个普通的二维面积度量。当然 $A^{2}(\Omega)$ 是一个复杂的线性空间,称为伯格曼
空间。上的规范 $A^{2}(\Omega)$ 是 (谁) 给的
$$
|f|{A^{2}(\Omega)}=\left[\int{\Omega}|f(z)|^{2} d A(z)\right]^{1 / 2}
$$
我们定义一个内积 $A^{2}(\Omega)$ 经过
$$
\langle f, g\rangle=\int_{\Omega} f(z) \overline{g(z)} d A(z)
$$
下一个技术引理将是我们分析空间的关键 $A^{2}$.

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