微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MATH824 Calculation of the Bergman Kernel for the Disk

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MATH824 Calculation of the Bergman Kernel for the Disk

简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

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  • 微分学
微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MATH824 Calculation of the Bergman Kernel for the Disk

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Calculation of the Bergman Kernel for the Disk

Proposition 1.3.1. The Bergman kernel for the unit disk $D$ is
$$
K(z, \zeta)=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{(1-z \bar{\zeta})^{2}} .
$$
The Bergman metric for the disk is
$$
g(z)=\frac{2}{\left(1-|z|^{2}\right)^{2}} .
$$
This is (up to a constant multiple) the well-known Poincaré, or PoincaréBergman, metric.

This fact is so important that we now present three proofs. Some interesting function theory will occur along the way.

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Construction of the Bergman Kernel for the Disk by Conformal Invariance

Let $D \subseteq \mathbb{C}$ be the unit disk. First we notice that, if either $f \in A^{2}(D)$ or $\bar{f} \in A^{2}(D)$, then
$$
f(0)=\frac{1}{\pi} \iint_{D} f(\zeta) d A(\zeta) .
$$
This is the standard, two-dimensional area form of the mean value property for holomorphic or harmonic functions.

Of course the constant function $u(z) \equiv 1$ is in $A^{2}(D)$, so it is reproduced by integration against the Bergman kernel. Hence, for any $w \in D$,
$$
1=u(w)=\iint_{D} K(w, \zeta) u(\zeta) d A(\zeta)=\iint_{D} K(w, \zeta) d A(\zeta)
$$
or
$$
\frac{1}{\pi}=\frac{1}{\pi} \iint_{D} K(w, \zeta) d A(\zeta) .
$$
By (1.3.1), we may conclude that
$$
\frac{1}{\pi}=K(w, 0)
$$
for any $w \in D$.
Now, for $a \in D$ fixed, consider the Möbius transformation
$$
h(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a} z} .
$$
We know that
$$
h^{\prime}(z)=\frac{1-|a|^{2}}{(1-\bar{a} z)^{2}} .
$$
We may thus apply Proposition $1.2 .11$ with $\phi=h$ to find that
$$
\begin{aligned}
K(w, a) &=h^{\prime}(w) \cdot K(h(w), h(a)) \cdot \overline{h^{\prime}(a)} \
&=\frac{1-|a|^{2}}{(1-\bar{a} w)^{2}} \cdot K(h(w), 0) \cdot \frac{1}{1-|a|^{2}} \
&=\frac{1}{(1-\bar{a} w)^{2}} \cdot \frac{1}{\pi} \
&=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{(1-w \bar{a})^{2}} .
\end{aligned}
$$
This is our formula for the Bergman kernel. The formula for the Bergman metric follows immediately by differentiation.

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MATH824 Calculation of the Bergman Kernel for the Disk

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Calculation of the Bergman Kernel for the Disk


命题 1.3.1。用于单位磁盘的 Bergman 内核 $D$ 是
$$
K(z, \zeta)=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{(1-z \bar{\zeta})^{2}} .
$$
磁盘的伯格曼度量是
$$
g(z)=\frac{2}{\left(1-|z|^{2}\right)^{2}}
$$
这是著名的 Poincaré 或 PoincaréBergman 度量(最多为常数倍)。
这个事实是如此重要,以至于我们现在提出三个证明。沿途会出现一些有趣的函数论。


微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代
考|Construction of the Bergman Kernel for the Disk by Conformal
Invariance


让 $D \subseteq \mathbb{C}$ 为单位盘。首先我们注意到,如果 $f \in A^{2}(D)$ 或者 $\bar{f} \in A^{2}(D)$ ,然后
$$
f(0)=\frac{1}{\pi} \iint_{D} f(\zeta) d A(\zeta) .
$$
这是全纯函数或调和函数的均值属性的标准二维面积形式。
当然是常量函数 $u(z) \equiv 1$ 在 $A^{2}(D)$ ,所以它是通过与伯格曼内核集成来复制的。因
此,对于任何 $w \in D$ ,
$$
1=u(w)=\iint_{D} K(w, \zeta) u(\zeta) d A(\zeta)=\iint_{D} K(w, \zeta) d A(\zeta)
$$
或者
$$
\frac{1}{\pi}=\frac{1}{\pi} \iint_{D} K(w, \zeta) d A(\zeta)
$$
通过 (1.3.1),我们可以得出结论
$$
\frac{1}{\pi}=K(w, 0)
$$
对于任何 $w \in D$.
现在,对于 $a \in D$ 固定,考虑莫比乌斯变换
$$
h(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a} z} .
$$
我们知道
$$
h^{\prime}(z)=\frac{1-|a|^{2}}{(1-\bar{a} z)^{2}} .
$$
因此我们可以应用命题 $1.2 .11$ 和 $\phi=h$ 找到那个
$$
K(w, a)=h^{\prime}(w) \cdot K(h(w), h(a)) \cdot \overline{h^{\prime}(a)} \quad=\frac{1-|a|^{2}}{(1-\bar{a} w)^{2}} \cdot K(h(w), 0) \cdot \frac{1}{1-|a|^{2}}=\frac{1}{(1-\bar{a} w)^{2}} \cdot \frac{1}{\pi} \quad=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{(1-w \bar{a})^{2}}
$$
这是我们的伯格曼核公式。伯格曼度量的公式紧随其后的是微分。

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