微积分网课代修|函数代写Function theory代考|ISC5473 Ahlfors’s Version of the Schwarz Lemma

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|ISC5473  Ahlfors’s Version of the Schwarz Lemma

简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

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  • 单变量微积分
  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分网课代修|函数代写Function theory代考|ISC5473 Ahlfors’s Version of the Schwarz Lemma

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Ahlfors’s Version of the Schwarz Lemma

If $U \subseteq \mathbb{C}$ is a planar domain and $\rho$ is a metric on $U$, then the curvature of the metric $\rho$ at a point $z \in U$ is defined to be
$$
\kappa_{U, \rho}(z)=\kappa(z) \equiv \frac{-\Delta \log \rho(z)}{\rho(z)^{2}} .
$$
(Here zeros of $\rho(z)$ will result in singularities of the curvature function- $\kappa$ is undefined at such points.)

Since $\rho$ is twice continuously differentiable, this definition makes sense. It assigns to each $z \in U$ a numerical quantity. The most important preliminary fact about $\kappa$ is its conformal invariance:

Proposition 2.4.1. Let $U_{1}$ and $U_{2}$ be planar domains and $h: U_{1} \rightarrow U_{2} a$ conformal map (in particular, $h^{\prime}$ never vanishes). If $\rho$ is a metric on $U_{2}$, then
$$
\kappa_{U_{1}, h^{} \rho}(z)=\kappa_{U_{2}, \rho}(h(z)), \quad \forall z \in U_{1} . $$ Proof. We need to calculate: $$ \begin{aligned} \kappa_{U_{1}, h^{} \rho}(z) & \equiv \frac{-\Delta \log \left[\rho(h(z)) \cdot\left|h^{\prime}(z)\right|\right]}{\left[\rho(h(z)) \cdot \mid h^{\prime}(z)\right]^{2}} \
&=\frac{-\Delta \log [\rho(h(z))]-\Delta\left[\log \left(\left|h^{\prime}(z)\right|\right)\right]}{\left[\rho(h(z)) \cdot\left|h^{\prime}(z)\right|\right]^{2}} .
\end{aligned}
$$

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|Liouville and Picard Theorems

It turns out that curvature gives criteria for when there do or do not exist nonconstant holomorphic functions from a domain $U_{1}$ to a domain $U_{2}$. The most basic result along these lines is as follows

Theorem 2.5.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set equipped with a metric $\sigma(z)$ having the property that its curvature $\kappa_{\sigma}(z)$ satisfies
$$
\kappa_{\sigma}(z) \leq-B<0 $$ for some positive constant $B$ and for all $z \in U$. Then any holomorphic function $$ f: \mathbb{C} \rightarrow U $$ must be constant. Proof. For $\alpha>0$ we consider the mapping
$$
f: D(0, \alpha) \rightarrow U
$$

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|ISC5473 Ahlfors’s Version of the Schwarz Lemma

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代 考|Ahlfors’s Version of the Schwarz Lemma


如果 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个平面域并且 $\rho$ 是一个指标 $U$ ,然后是度量的曲率 $\rho$ 在某一点 $z \in U$ 被 定义为
$$
\kappa_{U, \rho}(z)=\kappa(z) \equiv \frac{-\Delta \log \rho(z)}{\rho(z)^{2}} .
$$
(这里的零 $\rho(z)$ 将导致曲率函数的奇异性- $\kappa$ 在这些点上是末定义的。)
自从 $\rho$ 是两次连续可微的,这个定义是有道理的。它分配给每个 $z \in U$ 个个数字量。关 于最重要的初步事实 $\kappa$ 是它的共形不变性:
命题 2.4.1。让 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 是平面域和 $h: U_{1} \rightarrow U_{2} a$ 保形咕图(特别是, $h^{\prime}$ 永不消 失)。如果 $\rho$ 是一个指标 $U_{2}$ ,然后
$$
\kappa_{U_{1}, h \rho}(z)=\kappa_{U_{2}, \rho}(h(z)), \quad \forall z \in U_{1} .
$$
证明。我们需要计算:
$$
\kappa_{U_{1}, h \rho}(z) \equiv \frac{-\Delta \log \left[\rho(h(z)) \cdot\left|h^{\prime}(z)\right|\right]}{\left[\rho(h(z)) \cdot \mid h^{\prime}(z)\right]^{2}}=\frac{-\Delta \log [\rho(h(z))]-\Delta\left[\log \left(\left|h^{\prime}(z)\right|\right)\right]}{\left[\rho(h(z)) \cdot\left|h^{\prime}(z)\right|\right]^{2}} .
$$


微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代 考|Liouville and Picard Theorems


事实证明,曲率给出了何时存在或不存在来自域的非常量全纯函数的标准 $U_{1}$ 到域 $U_{2}$. 沿着这些路线最基本的结果如下
定理 2.5.1。让 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个带有度量的开集 $\sigma(z)$ 具有曲率的性质 $\kappa_{\sigma}(z)$ 满足
$$
\kappa_{\sigma}(z) \leq-B<0 $$ 对于一些正常数 $B$ 并为所有人 $z \in U$. 那么任何全纯函数 $$ f: \mathbb{C} \rightarrow U $$ 必须是恒定的。证明。为了 $\alpha>0$ 我们考虑映射
$$
f: D(0, \alpha) \rightarrow U
$$

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