微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MAEN5060 The Poincar´e Metric

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

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  • 多变量微积分
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  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MAEN5060 The Poincar´e Metric

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|The Poincar´e Metric

The Poincaré metric on the disk has occurred frequently in this book. This metric is the paradigm for much of what we want to do in the present chapter, and we shall treat it in some detail here. The Poincaré metric on the disk $D$ is given by
$$
\rho(z)=\frac{1}{1-|z|^{2}} .
$$
(For the record, we note that there is no agreement in the literature as to what constant goes in the numerator; many references use a factor of 2.)
In this and succeeding sections, we shall use the phrase “conformal map” to refer to a holomorphic mapping of one planar region to another that is both one-to-one and onto.

Proposition 2.3.12. Let $\rho$ be the Poincaré metric on the disk D. Let $h$ : $D \rightarrow D$ be a conformal self-map of the disk. Then $h$ is an isometry of the pair $(D, \rho)$ with the pair $(D, \rho)$.
Proof. We have that
$$
h^{} \rho(z)=\rho(h(z)) \cdot\left|h^{\prime}(z)\right| . $$ We now have two cases: (i) If $h$ is a rotation, then $h(z)=\mu \cdot z$ for some unimodular constant $\mu \in \mathbb{C}$. So $\left|h^{\prime}(z)\right|=1$ and $$ h^{} \rho(z)=\rho(h(z))=\rho(\mu z)=\frac{1}{1-|\mu z|^{2}}=\frac{1}{1-|z|^{2}}=\rho(z)
$$
as desired.
(ii) If $h$ is a Möbius transformation, then
$$
h(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a} z}, \quad \text { some constant } a \in D
$$

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|The Schwarz Lemma

One of the important facts about the Poincaré metric is that it can be used to study not just conformal maps but all holomorphic maps of the disk. The key to this assertion is the classical Schwarz lemma. We begin with an elegant geometric interpretation of the Schwarz-Pick lemma (see Section 2.1).

Proposition 2.3.22. Let $f: D \rightarrow D$ be holomorphic. Then $f$ is distancedecreasing in the Poincaré metric $\rho$. That is, for any $z \in D$,
$$
f^{} \rho(z) \leq \rho(z) $$ The integrated form of this assertion is that if $\gamma:[0,1] \rightarrow D$ is a continuously differentiable curve, then $$ \ell_{\rho}\left(f_{} \gamma\right) \leq \ell_{\rho}(\gamma) .
$$
Therefore, if $P$ and $Q$ are elements of $D$, we may conclude that
$$
d_{\rho}(f(P), f(Q)) \leq d_{\rho}(P, Q)
$$

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MAEN5060 The Poincar´e Metric

微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|The Poincar’e Metric


磁盘上的庞加莱度量在本书中经常出现。这个度量标准是我们在本章中要做的大部分事 情的范式,我们将在这里详细介绍它。磁盘上的庞加莱度量 $D$ 是 (谁) 给的
$$
\rho(z)=\frac{1}{1-|z|^{2}} .
$$
(作为记录,我们注意到文献中对于分子中的常数没有达成一致;许多参考文献使用因 子 2 。)
在本节和后续部分中,我们将使用短语“conformal map”来指代一个平面区域到另一个 平面区域的全纯映射,它既是一对一的又是在上面的。
提案 2.3.12。让 $\rho$ 是磁盘 D上的庞加莱度量。让 $h: D \rightarrow D$ 是磁盘的保形自映射。然 后 $h$ 是对的等距 $(D, \rho)$ 与这对 $(D, \rho)$.
证明。我们有那个
$$
h \rho(z)=\rho(h(z)) \cdot\left|h^{\prime}(z)\right| .
$$
我们现在有两种情况: (i) 如果 $h$ 是一个旋转,那么 $h(z)=\mu \cdot z$ 对于一些单模常数 $\mu \in \mathbb{C}$. 所以 $\left|h^{\prime}(z)\right|=1$ 和
$$
h \rho(z)=\rho(h(z))=\rho(\mu z)=\frac{1}{1-|\mu z|^{2}}=\frac{1}{1-|z|^{2}}=\rho(z)
$$
如预期的。
(ii) 如果 $h$ 是一个莫比乌斯变换,那么
$$
h(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a} z}, \quad \text { some constant } a \in D
$$


微积分网课代修|偏微分方程代写Partial Differential Equation代考|The Schwarz Lemma


关于 Poincaré 度量的重要事实之一是它不仅可以用于研究保角映射,还可以用于研究
圆盘的所有全纯映射。这个断言的关键是经典的施瓦茨引理。我们从 Schwarz-Pick 引 理的优雅几何解䧽开始 (参见第 $2.1$ 节) 。
提案 2.3.22。让 $f: D \rightarrow D$ 是全纯的。然后 $f$ 在庞加莱度量中距离递减 $\rho$. 就是说, 对于任何 $z \in D$ ,
$$
f \rho(z) \leq \rho(z)
$$
这个断言的综合形式是,如果 $\gamma:[0,1] \rightarrow D$ 是一条连续可微的曲线,那么
$$
\ell_{\rho}(f \gamma) \leq \ell_{\rho}(\gamma) .
$$
因此,如果 $P$ 和 $Q$ 是元素 $D$ ,我们可以得出结论
$$
d_{\rho}(f(P), f(Q)) \leq d_{\rho}(P, Q)
$$

微积分网课代修|函数代写Function theory代考|MAEN5060 The Poincar´e Metric
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