微积分网课代修|积分学代写Integral Calculus代考|MTH252 Integration formulas

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

我们提供的econ代写服务范围广, 其中包括但不限于:

  • 单变量微积分
  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
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微积分作业代写calclulus代考|Integration formulas

The Newton integral inherits its formulas directly from the standard differentiation formulas. If we review the latter we will be able to deduce useful and attractive formulas for the integral.

For the integral of Chapter 3 , which is much more general than the Newton versions here, these formulas remain true but will require some attention to hypotheses; they will not usually follow trivially from the differentiation formulas.
1.4.1. Sum formula. One of the first formulas we encounter in the calculus is that for the sum of two derivatives:
$$
\frac{d}{d x}{F(x)+G(x)}=\frac{d}{d x} F(x)+\frac{d}{d x} G(x) .
$$
From that we obtain the sum formula for integrals:
$$
\int_{a}^{b}{f(x)+g(x)} d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x .
$$
The hypotheses allowing this are: $f$ has an indefinite integral $F$ and $g$ has an indefinite integral $G$ where both $F$ and $G$ are continuous on $[a, b]$ with
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { and } G^{\prime}(x)=g(x)
$$
for all points in $(a, b)$ excepting possibly some sequence of exceptional points. This sum formula will be available for the Chapter 3 integral under much weaker hypotheses.
1.4.2. Integration by parts. One of the most studied of the formulas we encounter in the calculus is that for the product of two derivatives:
$$
\frac{d}{d x}{F(x) G(x)}=F^{\prime}(x) G(x)+F(x) G^{\prime}(x)
$$
From that we obtain the formula for integrals known as integration by parts:
$$
\int_{a}^{b}{f(x) G(x)+F(x) g(x)} d x=F(b) G(b)-F(a) G(b) .
$$
The hypotheses allowing this are: $f$ has an indefinite integral $F$ and $g$ has an indefinite integral $G$ where both $F$ and $G$ are continuous on $[a, b]$ with
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { and } G^{\prime}(x)=g(x)
$$
for all points in $(a, b)$ excepting possibly some sequence of exceptional points. There are versions of integration by parts formulas for the general integration theory, but they require very different proofs.

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The Newton integral is a sufficient tool for most of elementary calculus needs; we should be informed of some of its theory. One of the defects in the presentation to this point is that we do not know what functions can be integrated by this method.

To be sure if a given function $f$ is the derivative of some other function $F$ then we know how the procedure works. But what sufficient conditions can be stated for a function $f$ in order that we can be assured that such an indefinite integral exists? We cannot always be placed in the uncomfortable position of computing an indefinite integral in order to be assured that there is one.

We report here, by way of a preview, some of the theory that will clarify the situation. Proper statements of these facts appear in Chapter $3 .$
THEOREM 1.7. In order that a function $f$ possess an integral
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x
$$
on a compact interval $[a, b]$ in the sense of the Newton integral of this chapter the following are sufficient:

  • $f$ is continuous at every point of $[a, b]$.
  • $f$ is continuous at every point of $(a, b)$ and is bounded.
  • $f$ is continuous at every point of $(a, b)$ with the exception possibly of some sequence of points and $f$ is bounded.
  • $f$ is continuous at every point of $(a, b)$ with at most finitely many exceptions and dominated by another function $g$ for which
    $$
    0 \leq f(x) \leq g(x) \quad(a<x<b)
    $$
    where $g$ is continuous on $(a, b)$ (again allowing finitely many exceptions) and the integral $\int_{a}^{b} g(x) d x$ is assumed to exist.
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微积分作业代写calclulus代考|Integration formulas

牛顿积分直接从标准微分公式继承其公式。如果我们回顾后者,我们将能够推导出有用 且有吸引力的积分公式。
对于第 3 章的积分,它比这里的牛顿版本更通用,这些公式仍然正确,但需要注意假
设;它们通常不会轻易地从微分公式中得出。
1.4.1。求和公式。我们在微积分中遇到的第一个公式是两个导数之和:
$$
\frac{d}{d x} F(x)+G(x)=\frac{d}{d x} F(x)+\frac{d}{d x} G(x) .
$$
由此我们得到积分的求和公式:
$$
\int_{a}^{b} f(x)+g(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x .
$$
允许这样做的假设是: $f$ 有一个不定积分 $F$ 和 $g$ 有一个不定积分 $G$ 两者都 $F$ 和 $G$ 是连续的 $[a, b]$ 和
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { and } G^{\prime}(x)=g(x)
$$
对于所有点 $(a, b)$ 除了可能的一些异常点序列。在较弱的假设下,该求和公式将可用于 第 3 章积分。
1.4.2. 按部分集成。我们在微积分中遇到的研究最多的公式之一是两个导数的乘积:
$$
\frac{d}{d x} F(x) G(x)=F^{\prime}(x) G(x)+F(x) G^{\prime}(x)
$$
由此我们得到积分公式,称为分部积分:
$$
\int_{a}^{b} f(x) G(x)+F(x) g(x) d x=F(b) G(b)-F(a) G(b) .
$$
允许这样做的假设是: $f$ 有一个不定积分 $F$ 和 $g$ 有一个不定积分 $G$ 两者都 $F$ 和 $G$ 是连续的 $[a, b]$ 和
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { and } G^{\prime}(x)=g(x)
$$
对于所有点 $(a, b)$ 除了可能的一些异常点序列。一般积分理论有部分积分公式的版本, 但它们需要非常不同的证明。

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牛顿积分是满足大多数初等微积分需求的充分工具;我们应该了解它的一些理论。介绍 到这里的一个缺陷是我们不知道这种方法可以集成哪些功能。
确定一个给定的功能 $f$ 是其他函数的导数 $F$ 然后我们知道该程序是如何工作的。但是什 么充分条件可以说明一个函数 $f$ 为了让我们确信存在这样一个不定积分? 我们不能总是 被置于计算一个不定积分的不舒服的位置,以确保有一个。
我们在这里通过预览的方式报告一些可以澄清情况的理论。这些事实的适当陈述出现在 本章3.
定理 1.7。为了一个函数 $f$ 拥有一个整体
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x
$$
在一个紧凑的区间 $[a, b]$ 在本章的牛顿积分的意义上,以下内容就足够了:

  • $f$ 在每一点上都是连续的 $[a, b]$.
  • $f$ 在每一点上都是连续的 $(a, b)$ 并且是有界的。
  • $f$ 在每一点上都是连续的 $(a, b)$ 除了可能的一些点序列和 $f$ 是有界的。
  • $f$ 在每一点上都是连续的 $(a, b)$ 最多有有限多个例外,并由另一个函数支配 $g$ 为此
    $$
    0 \leq f(x) \leq g(x) \quad(a<x<b)
    $$
    在哪里 $g$ 是连续的 $(a, b)$ (再次允许有限多个例外) 和积分 $\int_{a}^{b} g(x) d x$ 假定存在。
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