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微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Stable Convergence of Random Variables
The limit kernel for $\mathcal{G}$-stable convergence $X_{n} \rightarrow K$ can always be represented as a $\mathcal{G}$ conditional distribution of a further random variable $X$ defined on a suitable extension of the underlying probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ : Take $\bar{\Omega}=\Omega \times \mathcal{X}, \overline{\mathcal{F}}=\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{X})$, $\bar{P}=P \otimes K$ and $X(\omega, x)=x$. So, for instance, the Gauss-kernel $N\left(0, \eta^{2}\right)$, where $\eta$ is a $\mathcal{G}$-measurable, nonnegative real random variable, satisfies $N\left(0, \eta^{2}\right)=P^{\eta Z \mid \mathcal{G}}$ assuming the existence of a $N(0,1)$-distributed random variable $Z$ on $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ which is independent of $\mathcal{G}$. This motivates the following approach.
Definition 3.15 Let $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ be a sub- $\sigma$-field. A sequence $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ of $(\mathcal{X}, \mathcal{B}(\mathcal{X}))$ valued random variables is said to converge $\mathcal{G}$-stably to an $(\mathcal{X}, \mathcal{B}(\mathcal{X})$ )-valued random variable $X$ if $X{n} \rightarrow P^{X \mid \mathcal{G}} \mathcal{G}$-stably for $n \rightarrow \infty$. Then we write $X_{n} \rightarrow X \mathcal{G}$-stably.
As before, we assume the existence of conditional distributions. By Definition $3.1$ $\mathcal{G}$-stable convergence $X_{n} \rightarrow X$ reads
$$
\lim {n \rightarrow \infty} E\left(f E\left(h\left(X{n}\right) \mid \mathcal{G}\right)\right)=E(f E(h(X) \mid \mathcal{G}))
$$
for every $f \in \mathcal{L}^{1}(P)$ and $h \in C_{b}(\mathcal{X})$ and implies $X_{n} \stackrel{d}{\rightarrow} X$. The $\mathcal{G}$-mixing convergence $X_{n} \rightarrow X$ corresponds to $P^{X \mid \mathcal{G}}=P^{X} P$-almost surely which is equivalent to the independence of $\sigma(X)$ and $\mathcal{G}$. Thus $X_{n} \rightarrow X \mathcal{G}$-mixing means $X_{n} \rightarrow X \mathcal{G}$-stably and $\sigma(X)$ and $\mathcal{G}$ are independent which is also equivalent to $X_{n} \rightarrow P^{X} \mathcal{G}$-mixing and independence of $\sigma(X)$ and $\mathcal{G}$.
For the formulation of stable limit theorems in subsequent chapters we sometimes use the ” $K$-approach”, sometimes the ” $X$-approach”, and sometimes both.
Example $3.16$ In the situation of Example $3.13$ (b) with $\mathcal{G}=\sigma\left(Z_{n}, n \geq 1\right)$ let $X$ be $N\left(0, \sigma^{2}\right)$-distributed and independent of $\mathcal{G}$. Such an $X$ exists at least after a suitable extension of $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Then Example $3.13$ (b) yields
$$
\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^{n}\left(Z_{j}-E Z_{1}\right) \rightarrow X \quad \mathcal{G} \text {-mixing. }
$$
However, there is nothing special about this $\mathcal{G}$. The above statement holds for any pair $(\mathcal{G}, X)$, where $P^{X}=N\left(0, \sigma^{2}\right)$ and $\sigma(X), \mathcal{G}$ are independent. The random variable $X$ is merely an “artificial” construct to describe the limit kernel. In practice, $\mathcal{G}$ can and will be chosen so large that all random variables of interest are measurable w.r.t. $\mathcal{G}$.
The previous characterizations of $\mathcal{G}$-stable convergence now read as follows.
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Limit Points
In order to describe the fluctuation behavior of stably convergent random variables recall that $x \in \mathcal{X}$ is said to be a limit point of a sequence $\left(x_{n}\right){n \geq 1}$ in $\mathcal{X}$ if it has a subsequence converging to $x$. We denote by $L\left(\left(x{n}\right)\right)$ the set of all limit points of $\left(x_{n}\right){n \geq 1}$. Since $\mathcal{X}$ is first countable (each point has a countable neighborhood basis) the limit points of a sequence are precisely the cluster (or accumulation) points of the sequence, so that $L\left(\left(x{n}\right)\right)=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \overline{\left{x_{k}: k \geq n\right}}$, where $\bar{B}$ denotes the closure of $B \subset \mathcal{X}$. Furthermore, the set $L:=\left{\left(\left(x_{n}\right), x\right) \in \mathcal{X}^{\mathbb{N}} \times \mathcal{X}: x \in L\left(\left(x_{n}\right)\right)\right}$ can be written as $L=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} L_{n}$, where
$$
\begin{aligned}
L_{n} &:=\left{\left(\left(x_{j}\right), x\right) \in \mathcal{X}^{\mathbb{N}} \times \mathcal{X}: x \in \overline{\left{x_{k}: k \geq n\right}}\right} \
&=\bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty}\left{\left(\left(x_{j}\right), x\right) \in \mathcal{X}^{\mathbb{N}} \times \mathcal{X}: d\left(x_{k}, x\right)<\frac{1}{i}\right}
\end{aligned}
$$
hence $L_{n}, L \in \mathcal{B}(\mathcal{X})^{\mathbb{N}} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{X})$. For $\nu \in \mathcal{M}^{1}(\mathcal{X})$, let $\operatorname{supp}(\nu)$ denote the support of $\nu$ (i.e. the smallest closed set $B$ such that $\nu(B)=1$ ), which exists in our setting ([69], Theorem II.2.1).
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极限核为 $\mathcal{G}$-稳定收敛 $X_{n} \rightarrow K$ 总是可以表示为 $\mathcal{G}$ 另一个随机变量的条件分布 $X$ 在基础
概率空间的适当扩展上定义 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ : 拿 $\bar{\Omega}=\Omega \times \mathcal{X}, \overline{\mathcal{F}}=\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{X})$ ，
$\bar{P}=P \otimes K$ 和 $X(\omega, x)=x$. 因此，例如，高斯核 $N\left(0, \eta^{2}\right)$ ，在哪里 $\eta$ 是一个 $\mathcal{G}-$
变量 $Z$ 上 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 独立于 $\mathcal{G}$. 这激发了以下方法。
定义 $3.15$ 让 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 成为一个子 $\sigma$-场地。一个序列 $\left(X_{n}\right) n \geq 1$ 的 $(\mathcal{X}, \mathcal{B}(\mathcal{X}))$ 据说有
值的随机变量会收敛 $\mathcal{G}$-稳定到一个 $(\mathcal{X}, \mathcal{B}(\mathcal{X}))$ 值随机变量 $X$ 如果 $X n \rightarrow P^{X \mid \mathcal{G}} \mathcal{G}$ – 稳
定的 $n \rightarrow \infty$. 然后我们写 $X_{n} \rightarrow X \mathcal{G}$-稳定。
如前所述，我们假设存在条件分布。按定义 $3.1 \mathcal{G}$-稳定收敛 $X_{n} \rightarrow X$ 读
$$
\lim n \rightarrow \infty E(f E(h(X n) \mid \mathcal{G}))=E(f E(h(X) \mid \mathcal{G}))
$$
对于每个 $f \in \mathcal{L}^{1}(P)$ 和 $h \in C_{b}(\mathcal{X})$ 并暗示 $X_{n} \stackrel{d}{\rightarrow} X$. 这 $\mathcal{G}$-混合收玫 $X_{n} \rightarrow X$ 对应 于 $P^{X \mid \mathcal{G}}=P^{X} P$ – 几乎可以肯定，这相当于独立性 $\sigma(X)$ 和 $\mathcal{G}$. 因此 $X_{n} \rightarrow X \mathcal{G}$-混合 装置 $X_{n} \rightarrow X \mathcal{G}$-稳定且 $\sigma(X)$ 和 $\mathcal{G}$ 是独立的，这也等价于 $X_{n} \rightarrow P^{X} \mathcal{G}$-混合和独立 $\sigma(X)$ 和 $\mathcal{G}$.
对于后续章节中稳定极限定理的表述，我们有时使用“ $K$-方法”，有时是“ $X$-方法”，有 时两者兼而有之。
例子 $3.16$ 在示例的情况下 $3.13(\mathrm{~b})$ 与 $\mathcal{G}=\sigma\left(Z_{n}, n \geq 1\right)$ 让 $X$ 是 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$-分布式且 独立于 $\mathcal{G}$. 这样一个 $X$ 至少在适当的扩展之后存在 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. 然后示例 $3.13(\mathrm{~b})$ 产量
$$
\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^{n}\left(Z_{j}-E Z_{1}\right) \rightarrow X \quad \mathcal{G} \text {-mixing. }
$$
但是，这并没有什么特别之处 $\mathcal{G}$. 上述陈述适用于任何一对 $(\mathcal{G}, X)$ ，在哪里 $P^{X}=N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 和 $\sigma(X), \mathcal{G}$ 是独立的。随机变量 $X$ 只是描述极限核的“人造”结构。
在实践中， $\mathcal{G}$ 可以并且将被选择得如此之大，以至于所有感兴趣的随机变量都是可测量 的 $\mathcal{G}$.
以前的特征 $\mathcal{G}$ – 稳定收敛现在如下。
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Limit Points
为了描述稳定收敛的随机变量的波动行为，回忆一下 $x \in \mathcal{X}$ 被称为序列的一个极限点
$\left(x_{n}\right) n \geq 1$ 在 $\mathcal{X}$ 如果它有一个收敛到的子序列 $x$. 我们表示 $L((x n))$ 的所有极限点的
集合 $\left(x_{n}\right) n \geq 1$. 自从 $\mathcal{X}$ 是第一个可数的（每个点都有一个可数的邻域基)，一个序列
的极限点正是该序列的聚类 (或累积) 点，所以
在哪里 $\bar{B}$ 表示关闭 $B \subset \mathcal{X}$. 此外，该集 可以写成 $L=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} L_{n}$ ，在哪里
因此 $L_{n}, L \in \mathcal{B}(\mathcal{X})^{\mathbb{N}} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{X})$. 为了 $\nu \in \mathcal{M}^{1}(\mathcal{X})$ ， 让 $\operatorname{supp}(\nu)$ 表示支持 $\nu$ (即最 小闭集 $B$ 这样 $\nu(B)=1$ ），它存在于我们的设置中（[69]，定理 II.2.1)。
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