微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|MATH407 Autoregression of Order One

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

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  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|MATH407 Autoregression of Order One

微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Autoregression of Order One

In this and the subsequent chapter we present concrete applications of previous stable limit theorems. Here we consider an autoregressive process of order one $X=$ $\left(X_{n}\right){n \geq 0}$ generated recursively by $$ X{n}=\vartheta X_{n-1}+Z_{n}, n \geq 1,
$$
where $\vartheta \in \mathbb{R},\left(Z_{n}\right){n \geq 1}$ is an independent and identically distributed sequence of real random variables and $X{0}$ is a real random variable independent of $\left(Z_{n}\right){n \geq 1}$. We assume that $P^{Z{1}}$ is continuous. Then $X_{n}^{2}>0$ almost surely for all $n \geq 1$ since by independence of $X_{n-1}$ and $Z_{n}, P^{X_{n}}$ is continuous for $n \geq 1$. The usual least squares estimator for the parameter $\vartheta$ on the basis of the observations $X_{0}, \ldots, X_{n}$ is given by
$$
\widehat{\vartheta}{n}:=\frac{\sum{j=1}^{n} X_{j} X_{j-1}}{\sum_{j=1}^{n} X_{j-1}^{2}}, n \geq 2,
$$
provided $Z_{1} \in \mathcal{L}^{1}(P)$ and $E Z_{1}=0$. In the explosive case $|\vartheta|>1$, the effect of the mean of $Z_{1}$ disappears asymptotically so that $\widehat{\vartheta}{n}$ is also reasonable in that case if $E Z{1} \neq 0$. We prove stable limit theorems for $\widehat{\vartheta}_{n}$ under deterministic and random norming.

Let $\mathcal{F}{n}:=\sigma\left(X{0}, X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\sigma\left(X_{0}, Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right)$ for all $n \geq 0$ and $\mathbb{F}:=$ $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \geq 0}$. Define $\mathbb{F}$-adapted processes by
$$
A_{n}:=\sum_{j=1}^{n} X_{j-1}^{2} \text { with } A_{0}=0
$$
and

$$
B_{n}:=\sum_{j=1}^{n} X_{j-1} Z_{j} \text { with } B_{0}=0
$$
Since $\sum_{j=1}^{n} X_{j} X_{j-1}=\sum_{j=1}^{n}\left(\vartheta X_{j-1}+Z_{j}\right) X_{j-1}=\vartheta A_{n}+B_{n}$, we obtain
$$
\widehat{\vartheta}{n}-\vartheta=B{n} / A_{n} \text { for all } n \geq 2 .
$$

微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Galton-Watson Branching Processes

Let $\left(Y_{n j}\right){n, j \in \mathbb{N}}$ be independent and identically distributed random variables with values in $\mathbb{N}{0}$, and let $X_{0}$ be some random variable with values in $\mathbb{N}$ which is independent of $\left(Y_{n j}\right){n, j \in \mathbb{N}}$, where all these random variables are defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. For every $n \in \mathbb{N}$ we set $$ X{n}:=\sum_{j=1}^{X_{n-1}} Y_{n j} .
$$
The process $X=\left(X_{n}\right){n \geq 0}$ is the Galton-Watson branching process. The process $X$ can be interpreted as follows: In a population of particles (which may represent people, cells, neutrons, etc., depending on the field of application) each particle $j$ of the ( $n-1)$-th generation produces a random number $Y{n j}$ (which may be 0 ) of identical particles in the $n$-th generation, called the offspring of $j$, and it does so independently of all other particles from the $(n-1)$-th and all earlier generations. The offspring distribution, i.e. the distribution of $Y_{n j}$, is the same for all particles in all generations. Then $X_{n}$ is the total number of particles in the $n$-th generation, with $X_{0}$ being the (random) number of particles in the 0-th generation. Note that excluding the value 0 of $X_{0}$ is not an essential restriction because by definition of $X_{n}$ we would have $X_{n}=0$ for all $n \in \mathbb{N}$ on the event $\left{X_{0}=0\right}$ so that $\left(X_{n}\right){n \geq 0}$ would be trivial on $\left{X{0}=0\right}$.

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微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考| Autoregression of Order One


在本章和随后的章节中,我们介绍了先前稳定极限定理的具体应用。在这里,我们考虑 一阶的自回归过程 $X=\left(X_{n}\right) n \geq 0$ 递归生成者
$$
X n=\vartheta X_{n-1}+Z_{n}, n \geq 1,
$$
哪里 $\vartheta \in \mathbb{R},\left(Z_{n}\right) n \geq 1$ 是真实随机变量的独立且均匀分布的序列,并且 $X 0$ 是一个独 立于 $\left(Z_{n}\right) n \geq 1$. 我们假设 $P^{Z 1}$ 是连续的。然后 $X_{n}^{2}>0$ 几平肯定适合所有人 $n \geq 1$ 由于由独立 $X_{n-1}$ 和 $Z_{n}, P^{X_{n}}$ 对于 $n \geq 1$. 参数的常用最小二乘估计器 $\vartheta$ 根据意见 $X_{0}, \ldots, X_{n}$ 由
$$
\widehat{\vartheta}{n}:=\frac{\sum j=1^{n} X{j} X_{j-1}}{\sum_{j=1}^{n} X_{j-1}^{2}}, n \geq 2
$$
提供 $Z_{1} \in \mathcal{L}^{1}(P)$ 和 $E Z_{1}=0$. 在爆炸性案例中 $|\vartheta|>1$ ,均值的影响 $Z_{1}$ 渐近消失, 以便 $\widehat{\vartheta} n$ 在这种情况下也是合理的,如果 $E Z 1 \neq 0$. 我们证明了稳定的极限定理 $\widehat{\vartheta}{n}$ 在确 定性和随机规范下。 让 $\mathcal{F} n:=\sigma\left(X 0, X{1}, \ldots, X_{n}\right)=\sigma\left(X_{0}, Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right)$ 面向所有人 $n \geq 0$ 和 $\mathbb{F}:=$ $(\mathcal{F} n) n \geq 0$. 定义 $\mathbb{F}$-调整流程
$$
A_{n}:=\sum_{j=1}^{n} X_{j-1}^{2} \text { with } A_{0}=0
$$

$$
B_{n}:=\sum_{j=1}^{n} X_{j-1} Z_{j} \text { with } B_{0}=0
$$
因为 $\sum_{j=1}^{n} X_{j} X_{j-1}=\sum_{j=1}^{n}\left(\vartheta X_{j-1}+Z_{j}\right) X_{j-1}=\vartheta A_{n}+B_{n}$ ,我们得到
$$
\widehat{\vartheta} n-\vartheta=B n / A_{n} \text { for all } n \geq 2 .
$$


微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考| Galton-Watson Branching Processes


让 $\left(Y_{n j}\right) n, j \in \mathbb{N}$ 是独立且分布相同的随机变量,其值为 $\mathbb{N} 0$ ,并让 $X_{0}$ 是一些随机变 量,其值为 $\mathbb{N}$ 它独立于 $\left(Y_{n j}\right) n, j \in \mathbb{N}$ ,其中所有这些随机变量都定义在同一概率空间 上 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. 对于每个 $n \in \mathbb{N}$ 我们设置
$$
X n:=\sum_{j=1}^{X_{n-1}} Y_{n j}
$$
过程 $X=\left(X_{n}\right) n \geq 0$ 是高尔顿-沃森分支过程。过程 $X$ 可以解释如下: 在粒子群中 (可能代表人,细胞,中子等,取决于应用领域) 每个粒子 $j$ 的 $(n-1)$-第一代产生 一个随机数 $Y n j$ (可以是 0 ) 的相同粒子在 $n$-第一代,称为后代 $j$ ,并且它独立于所有 其他粒子从 $(n-1)$-th 和所有前几代。后代分布,即 $Y_{n j}$ ,对于所有世代中的所有粒 子都是相同的。然后 $X_{n}$ 是 $n$-第一代,与 $X_{0}$ 是第0代中粒子的(随机)数量。请注意, 排除值 $0 X_{0}$ 不是必需的限制,因为根据定义 $X_{n}$ 我们会有 $X_{n}=0$ 面向所有人 $n \in \mathbb{N}$

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