简单的说，学好微积分（数学分析）是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。
转变思维永远不是简单，但是不转变，贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候，我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音，还喜欢学各种解题技巧，这个时候我和他的成绩是一样的。
国外的老师较为看重学生homework的完成情况，对于同学们来说，完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说，在自身英语说存在局限的情况下，当数学基础较为薄弱时，微积分作业的难度一下子就提升了，很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰，我们不仅会帮大家完成作业，还提供相应的数学知识辅导课程，以此来提高同学们学习能力。
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微积分网课代修|极限理论代写Limit Theory代考|Martingales
Let $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ be a probability space and $\mathbb{F}=\left(\mathcal{F}{k}\right){k \geq 0}$ a filtration, that is, a nondecreasing sequence of sub- $\sigma$-fields of $\mathcal{F}$. Set $\mathcal{F}{\infty}:=\sigma\left(\bigcup{k=0}^{\infty} \mathcal{F}{k}\right)$. A sequence $\left(X{k}\right){k \geq 1}$ of random variables on $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is called adapted to $\mathbb{F}$ if $X{k}$ is measurable w.r.t. $\mathcal{F}{k}$ for every $k \in \mathbb{N}$, and a sequence $\left(X{k}\right)_{k \geq 1}$ of integrable random variables adapted to $\mathbb{F}$ is called a martingale difference sequence w.r.t. $\mathbb{F}$, if $E\left(X_{k} \mid \mathcal{F}_{k-1}\right)=0$ for all $k \in \mathbb{N}$.
Let $\left(X_{k}\right){k \geq 1}$ be a martingale difference sequence w.r.t. the filtration $\mathbb{F}$, and let $\left(a{n}\right){n \geq 1}$ be a sequence of positive real numbers. Then $$ X{n k}:=\frac{1}{a_{n}} X_{k} \quad \text { for } 1 \leq k \leq n \quad \text { and } \quad \mathcal{F}{n k}:=\mathcal{F}{k} \quad \text { for } 0 \leq k \leq n, n \in \mathbb{N}
$$
defines a martingale difference array $\left(X_{n k}\right){1 \leq k \leq n, n \in \mathbb{N}}$ w.r.t. $\left(\mathcal{F}{n k}\right){0 \leq k \leq n, n \in \mathbb{N}}$, and the $\sigma$-fields are nested because $\mathcal{F}{n+1, k}=\mathcal{F}{k}=\mathcal{F}{n k}$ for all $n \in \mathbb{N}$ and $0 \leq k \leq n$. Therefore, Theorem $6.1$ and the sufficient conditions of Sect. $6.3$ can be applied with $\mathcal{G}=\mathcal{F}{\infty}$ and yield stable central limit theorems for the normalized partial sums $a{n}^{-1} \sum_{k=1}^{n} X_{k}$ of $\left(X_{k}\right)_{k \geq 1}$ under appropriate moment conditions. For ease of reference we explicitly formulate here the two sets of sufficient conditions for martingale difference sequences that will be applied later on.
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We finally present a continuous-time version of Theorem $6.23$ and Corollary $6.24$ for path-continuous (local) martingales. Its proof is obtained by using the associated Dambis-Dubins-Schwarz Brownian motion.
Theorem 6.31 Let $M=\left(M_{t}\right){t \geq 0}$ be a path-continuous local $\mathbb{F}$-martingale, where $\mathbb{F}=\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geq 0}$ denotes a right-continuous filtration in $\mathcal{F}$, and let $a:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ be a nondecreasing function with $a(t) \rightarrow \infty$ as $t \rightarrow \infty$. Assume for the (continuous) quadratic characteristic $$ \frac{\langle M\rangle{t}}{a(t)^{2}} \rightarrow \eta^{2} \quad \text { in probability as } t \rightarrow \infty
$$
for some $\mathbb{R}{+}$-valued random variable $\eta$. Then $$ \frac{M{t}}{a(t)} \rightarrow N\left(0, \eta^{2}\right) \quad \text { stably as } t \rightarrow \infty
$$
and if $P\left(\eta^{2}>0\right)>0$,
$$
\frac{M_{t}}{\langle M\rangle_{t}^{1 / 2}} \rightarrow N(0,1) \quad \text { mixing under } P_{\left{\eta^{2}>0\right}} \text { as } t \rightarrow \infty
$$
$$
\left(M_{t} / 0:=0 .\right)
$$
Proof Since $\left\langle M-M_{0}\right\rangle=\langle M\rangle$, we may assume $M_{0}=0$. Let $\left(s_{n}\right){n \geq 1}$ be an arbitrary sequence in $(0, \infty)$ with $s{n} \uparrow \infty$. The assertions reduce to
$$
\frac{M_{s_{n}}}{a\left(s_{n}\right)} \rightarrow N\left(0, \eta^{2}\right) \quad \text { stably as } n \rightarrow \infty
$$
and
$$
\frac{M_{s_{n}}}{\langle M\rangle_{s_{n}}^{1 / 2}} \rightarrow N(0,1) \quad \text { mixing under } P_{\left{\eta^{2}>0\right}} \text { as } n \rightarrow \infty
$$
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让 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是一个概率空间，并且 $\mathbb{F}=(\mathcal{F} k) k \geq 0$ 一个过滤，即子 $\sigma$-字段 $\mathcal{F}$. 设置
$\mathcal{F} \infty:=\sigma\left(\bigcup k=0^{\infty} \mathcal{F} k\right)$. 序列 $(X k) k \geq 1$ 上的随机变量 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 称为适应 $\mathbb{F}$ 如
果 $X k$ 是可测量的 w.r.t. $\mathcal{F} k$ 对于每个 $k \in \mathbb{N}$ 和一个序列 $(X k){k \geq 1}$ 的可积随机变量数， 适用于 $\mathbb{F}$ 称为马丁格尔差分序列 w.r.t. $\mathbb{F}$ 如果 $E\left(X{k} \mid \mathcal{F}{k-1}\right)=0$ 面向所有人 $k \in \mathbb{N}$. 让 $\left(X{k}\right) k \geq 1$ 是一个马丁格尔差分序列 w.r.t. 过滤 $\mathbb{F}$ ，并让 $(a n) n \geq 1$ 是正实数序
列。然后
$X n k:=\frac{1}{a_{n}} X_{k} \quad$ for $1 \leq k \leq n \quad$ and $\quad \mathcal{F} n k:=\mathcal{F} k \quad$ for $0 \leq k \leq n, n \in \mathbb{N}$
定义马丁格尔差分数组 $\left(X_{n k}\right) 1 \leq k \leq n, n \in \mathbb{N}$ w.r.t. $(\mathcal{F} n k) 0 \leq k \leq n, n \in \mathbb{N}$
，以及 $\sigma$-字段嵌套，因为 $\mathcal{F} n+1, k=\mathcal{F} k=\mathcal{F} n k$ 面向所有人 $n \in \mathbb{N}$ 和
$0 \leq k \leq n$. 因此，定理 $6.1$ 以及第三节的充分条件。 $6.3$ 可与 $\mathcal{G}=\mathcal{F} \infty$ 并产生归一化
偏和的稳定中心极限定理 $a n^{-1} \sum_{k=1}^{n} X_{k}$ 之 $\left(X_{k}\right){k \geq 1}$ 在适当的时刻条件下。为了便于 参考，我们在这里明确地为马丁格尔差分序列制定了两组充分条件，这些条件将在以后 应用。
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我们最终提出了定理的连续时间版本 $6.23$ 和推论 $6.24$ 对于路径连续 (局部) 马丁格 尔。它的证明是通过使用相关的Dambis-Dubins-Schwarz Brownian运动获得的。 定理 $6.31$ 让 $M=\left(M{t}\right) t \geq 0$ 是路径连续本地 $\mathbb{F}$-马丁格尔，其中 $\mathbb{F}=(\mathcal{F} t) t \geq 0$ 表
示 $\mathcal{F}$ ，并让 $a:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ 是一个非递减函数 $a(t) \rightarrow \infty$ 如 $t \rightarrow \infty$.假设（连
续) 二次特征
$\frac{\langle M\rangle t}{a(t)^{2}} \rightarrow \eta^{2} \quad$ in probability as $t \rightarrow \infty$
对于某些人来说 $\mathbb{R}+$-值随机变量 $\eta$. 然后
$\frac{M t}{a(t)} \rightarrow N\left(0, \eta^{2}\right) \quad$ stably as $t \rightarrow \infty$
如果 $P\left(\eta^{2}>0\right)>0$ ，
$\backslash$ frac $\left{M_{-}{t}\right}{\backslash$ langle M\rangle_{t $\left.} \wedge{1 / 2}\right} \backslash$ rightarrow $N(0,1)$ lquad \text ${$ mixing under $} P_{-}{\backslash l e f t{\backslash$ leta^ ${2}>0 \backslash$ right $}$
$\left(M_{t} / 0:=0 .\right)$
证明自 $\left\langle M-M_{0}\right\rangle=\langle M\rangle$ ，我们可以假设 $M_{0}=0$. 让 $\left(s_{n}\right) n \geq 1$ 是 中的任意序列 $(0, \infty)$ 跟 $s n \uparrow \infty$.断言简化为
$$
\frac{M_{s_{n}}}{a\left(s_{n}\right)} \rightarrow N\left(0, \eta^{2}\right) \quad \text { stably as } n \rightarrow \infty
$$
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