微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH263 Tangent Spaces

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

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微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH263 Tangent Spaces

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|Tangent Spaces

We have used, informally, the following proposition: If $S$ is a manifold in $\mathbb{R}^{n}$, and $(x, f(x))$ is tangent to $S$ for each $x \in S$, then $S$ is an invariant manifold for the differential equation $\dot{x}=f(x)$. To make this proposition precise, we will give a definition of the concept of a tangent vector on a manifold. This definition is the main topic of this section.

Let us begin by considering some examples where the proposition on tangents and invariant manifolds can be applied.

The vector field on $\mathbb{R}^{3}$ associated with the system of differential equations given by
$$
\begin{aligned}
&\dot{x}=x(y+z), \
&\dot{y}=-y^{2}+x \cos z, \
&\dot{z}=2 x+z-\sin y
\end{aligned}
$$
is “tangent” to the linear two-dimensional submanifold $S:={(x, y, z)$ : $x=0}$ in the following sense: If $(a, b, c) \in S$, then the value of the vector function
$$
(x, y, z) \mapsto\left(x(y+z), y^{2}+x \cos z, 2 x+z-\sin y\right)
$$
at $(a, b, c)$ is a vector in the linear space $S$. Note that the vector assigned by the vector field depends on the point in $S$. For this reason, we will view the vector field as the function
$$
(x, y, z) \mapsto\left(x, y, z, x(y+z),-y^{2}+x \cos z, 2 x+z-\sin y\right)
$$

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|Change of Coordinates

The proof of Proposition $1.70$ contains an important computation that is useful in many other contexts; namely, the formula for changing coordinates in an autonomous differential equation. To reiterate this result, suppose that we have a differential equation $\dot{x}=f(x)$ where $x \in \mathbb{R}^{n}$, and $S \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is an invariant $k$-dimensional submanifold. If $g$ is a diffeomorphism from $S$ to some $k$-dimensional submanifold $M \subseteq \mathbb{R}^{m}$, then the ordinary differential equation (or, more precisely, the vector field associated with the differential equation) can be “pushed forward” to $M$. In fact, if $g: S \rightarrow M$ is the diffeomorphism, then
$$
\dot{y}=D g\left(g^{-1}(y)\right) f\left(g^{-1}(y)\right)
$$
is a differential equation on $M$. Since $g$ is a diffeomorphism, the new differential equation is the same as the original one up to a change of coordinates as schematically depicted in Figure 1.16.

Example 1.75. Consider $\dot{x}=x-x^{2}, x \in \mathbb{R}$. Let $S={x \in \mathbb{R}: x>0}$, $M=S$, and let $g: S \rightarrow M$ denote the diffeomorphism defined by $g(x)=$ $1 / x$. Here, $g^{-1}(y)=1 / y$ and
$$
\begin{aligned}
\dot{y} &=\operatorname{Dg}\left(g^{-1}(y)\right) f\left(g^{-1}(y)\right) \
&=-\left(\frac{1}{y}\right)^{-2}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y^{2}}\right) \
&=-y+1
\end{aligned}
$$

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH263 Tangent Spaces

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代 考|Tangent Spaces


我们非正式地使用了以下命题: 如果 $S$ 是一个流形 $\mathbb{R}^{n}$ ,和 $(x, f(x))$ 相切 $S$ 对于每个 $x \in S$ ,然后 $S$ 是微分方程的不变流形 $\dot{x}=f(x)$. 为了使这个命题准确,我们将给出 流形上的切向量概念的定义。这个定义是本节的主题。
让我们首先考虑一些可以应用关于切线和不变流形的命题的例子。
向量场 $\mathbb{R}^{3}$ 与由下式给出的微分方程组相关联
$$
\dot{x}=x(y+z), \quad \dot{y}=-y^{2}+x \cos z, \dot{z}=2 x+z-\sin y
$$
与线性二维子流形”相切” $S:=(x, y, z) \$: \$ x=0$ 在以下意义上: 如果 $(a, b, c) \in S$ ,那么向量函数的值
$$
(x, y, z) \mapsto\left(x(y+z), y^{2}+x \cos z, 2 x+z-\sin y\right)
$$
在 $(a, b, c)$ 是线性空间中的向量 $S$. 请注意,向量场分配的向量取决于 $S$. 因此,我们将 向量场视为函数
$$
(x, y, z) \mapsto\left(x, y, z, x(y+z),-y^{2}+x \cos z, 2 x+z-\sin y\right)
$$


微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代 考|Change of Coordinates


命题证明 $1.70$ 包含在许多其他情况下有用的重要计算;即,在自治微分方程中改变坐标 的公式。为了重申这个结果,假设我们有一个微分方程 $\dot{x}=f(x)$ 在哪里 $x \in \mathbb{R}^{n}$ ,和 $S \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 是一个不变量 $k$ 维子流形。如果 $g$ 是一个微分同胚 $S$ 对一些 $k$ 维子流形
$M \subseteq \mathbb{R}^{m}$ ,则常微分方程 (或更准确地说,与微分方程相关的矢量场) 可以“向前推” 为 $M$. 事实上,如果 $g: S \rightarrow M$ 是微分同胚,那么
$$
\dot{y}=D g\left(g^{-1}(y)\right) f\left(g^{-1}(y)\right)
$$
是一个微分方程 $M$. 自从 $g$ 是微分同胚,新的微分方程与原始微分方程相同,直到坐标 发生变化,如图 $1.16$ 所示。
示例 1.75。考虑 $\dot{x}=x-x^{2}, x \in \mathbb{R}$. 让 $S=x \in \mathbb{R}: x>0, M=S$ ,然后让 $g: S \rightarrow M$ 表示由定义的微分同胚 $g(x)=1 / x$. 这里, $g^{-1}(y)=1 / y$ 和
$$
\dot{y}=\operatorname{Dg}\left(g^{-1}(y)\right) f\left(g^{-1}(y)\right) \quad=-\left(\frac{1}{y}\right)^{-2}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y^{2}}\right)=-y+1
$$

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH221 Reparametrization of Time
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