微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MAP2302 Integration in Banach Spaces

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

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  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MAP2302 Integration in Banach Spaces

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|Integration in Banach Spaces

This section is a brief introduction to integration on Banach spaces following the presentation in [106]. As an application, we will give an alternative proof of the mean value theorem and a proof of a version of Taylor’s theorem.

Let $I$ denote a closed interval of real numbers and $X$ a Banach space with norm $|$. A simple function $f: I \rightarrow X$ is a function with the following property: There is a finite cover of $I$ consisting of disjoint subintervals such that $f$ restricted to each subinterval is constant. Here, each subinterval can be open, closed, or half open.

A sequence $\left{f_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ of not necessarily simple functions, each mapping $I$ to $X$, converges uniformly to a function $f: I \rightarrow X$ if for each $\epsilon>0$ there is an integer $N>0$ such that $\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|<\epsilon$ whenever $n, m>N$ and $t \in I$.

Definition 1.158. A regulated function is a uniform limit of simple functions.
Lemma 1.159. Every continuous function $f: I \rightarrow X$ is regulated.

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|The Contraction Principle

In this section, let us suppose that $(X, d)$ is a metric space. A point $x_{0} \in X$ is a fixed point of a function $T: X \rightarrow X$ if $T\left(x_{0}\right)=x_{0}$. The fixed point $x_{0}$ is called globally attracting if $\lim {n \rightarrow \infty} T^{n}(x)=x{0}$ for each $x \in X$.

Definition 1.170. Suppose that $T: X \rightarrow X$, and $\lambda$ is a real number such that $0 \leq \lambda<1$. The function $T$ is called a contraction (with contraction constant $\lambda$ ) if
$$
d(T(x), T(y)) \leq \lambda d(x, y)
$$
whenever $x, y \in X$.
The next theorem is fundamental; it states that a contraction, viewed as a dynamical system, has a globally attracting fixed point.

Theorem $1.171$ (Contraction Mapping Theorem). If the function $T$ is a contraction on the complete metric space $(X, d)$ with contraction constant $\lambda$, then $T$ has a unique fixed point $x_{0} \in X$. Moreover, if $x \in X$, then the sequence $\left{T^{n}(x)\right}_{n=0}^{\infty}$ converges to $x_{0}$ as $n \rightarrow \infty$ and
$$
d\left(T^{n}(x), x_{0}\right) \leq \frac{\lambda^{n}}{1-\lambda} d\left(x, x_{0}\right) .
$$
Proof. Let us prove first that fixed points of $T$ are unique. Indeed, if $T\left(x_{0}\right)=x_{0}$ and $T\left(x_{1}\right)=x_{1}$, then, by virtue of the fact that $T$ is a contraction, $d\left(T\left(x_{0}\right), T\left(x_{1}\right)\right) \leq \lambda d\left(x_{0}, x_{1}\right)$, and, by virtue of the fact that $x_{0}$ and $x_{1}$ are fixed points, $d\left(T\left(x_{0}\right), T\left(x_{1}\right)\right)=d\left(x_{0}, x_{1}\right)$. Thus, we have that
$$
d\left(x_{0}, x_{1}\right) \leq \lambda d\left(x_{0}, x_{1}\right)
$$

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MAP2302 Integration in Banach Spaces

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代 考|Integration in Banach Spaces


本节是在 [106] 中介绍之后对 Banach 空间的集成的简要介绍。作为应用,我们将给出 中值定理的另一种证明和泰勒定理的一个版本的证明。
让 $I$ 表示实数的闭区间和 $X$ 带范数的 Banach 空间|. 一个简单的功能 $f: I \rightarrow X$ 是一个 具有以下性质的函数: 有一个有限覆盖 $I$ 由不相交的子区间组成,使得 $f$ 限于每个子区间 是常数。在这里,每个子区间可以是开放的、封闭的或半开放的。
一个序列 lleft{f_{n}}|right}}{{n=1}个{linfty}伓一定是简单的函数,每个映射 $I$ 至 $X ,$ 一致地收 敛到一个函数 $f: I \rightarrow X$ 如果对于每个 $\epsilon>0$ 有一个整数 $N>0$ 这样 $\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|<\epsilon$ 每当 $n, m>N$ 和 $t \in I$.
定义 1.158。调节函数是简单函数的统一极限。
引理 1.159。每个连续函数 $f: I \rightarrow X$ 受到监管。


微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代 考|The Contraction Principle


在本节中,让我们假设 $(X, d)$ 是度量空间。一个点 $x_{0} \in X$ 是函数的不动点 $T: X \rightarrow X$ 如果 $T\left(x_{0}\right)=x_{0}$. 固定点 $x_{0}$ 如果 $\$ \mid \lim {n \mid$ rightarrow $\mid$ infty $} T^{\wedge}{n}$ $(x)=x{0}$ 则称为全局吸引 foreach $x \operatorname{lin} X \$$ 。
定义 1.170。假设 $T: X \rightarrow X$ ,和 $\lambda$ 是一个实数,使得 $0 \leq \lambda<1$. 功能 $T$ 称为收缩 (收缩常数 $\lambda$ ) 如果
$$
d(T(x), T(y)) \leq \lambda d(x, y)
$$
每当 $x, y \in X$.
下一个定理是基本的;它指出,收缩,被视为一个动力系统,有一个全球吸引的固定 点。
定理1.171 (收缩映射定理)。如果函数 $T$ 是完整度量空间的收缩 $(X, d)$ 收缩常数 $\lambda$, 然后 $T$ 有一个唯一的不动点 $x_{0} \in X$. 此外,如果 $x \in X$ ,那么序列
$$
d\left(T^{n}(x), x_{0}\right) \leq \frac{\lambda^{n}}{1-\lambda} d\left(x, x_{0}\right) .
$$
证明。让我们首先证明 $T$ 是独一无二的。确实,如果 $T\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 和 $T\left(x_{1}\right)=x_{1}$ , 那么,由于 $T$ 是收缩, $d\left(T\left(x_{0}\right), T\left(x_{1}\right)\right) \leq \lambda d\left(x_{0}, x_{1}\right)$ ,并且,由于 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 是固 定点, $d\left(T\left(x_{0}\right), T\left(x_{1}\right)\right)=d\left(x_{0}, x_{1}\right)$. 因此,我们有
$$
d\left(x_{0}, x_{1}\right) \leq \lambda d\left(x_{0}, x_{1}\right)
$$

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